Modelos de estimación y regresión OLS

Question

Tengo el siguiente modelo y me gustaría saber cómo obtener las estimaciones OLS cuando el modelo se expresa de esta manera. He intentado buscar, pero nadie es explícito acerca de cómo adquirir las estimaciones OLS cuando se tiene un coeficiente lineal y el resto una expresión no lineal. Sé que si no hubiera 1 en el denominador, podría tomar el logaritmo de y, lo que haría que el modelo fuera lineal en parámetros, pero el 1 me irrita un poco en este punto.

Si tomo los registros, obtengo lo siguiente: $$ \log(y) = -\log(1+\beta_0 + \beta_1 x + u) $$ y esto no me ayuda mucho porque el modelo no es lineal en parámetros.

Cualquier ayuda será muy apreciada

Answer 1

No se puede estimar un modelo como éste por MCO porque no es lineal en los parámetros.

¿Está dispuesto a modelarlo como se muestra a continuación? $$y_i =\frac{1}{1+e^{\beta_0+\beta_1x_i}}+u_i $$

Si es así, podrías utilizar mínimos cuadrados no lineales. Esto se puede implementar en Stata con la función nl mando.

Si no puede cambiar la hipótesis de modelización, creo que tendría que aplicar el método de los momentos. Un momento sería presumiblemente $E[u]=0$ . El otro momento sería presumiblemente $E[xu]=0$ . Tendrías que codificarlo tú mismo en python o matlab, creo. Usted resolvería para el $\hat{\beta_0}$ y $\hat{\beta_1}$ tal que la media muestral de $\hat{u}$ es 0 y la media muestral de $x_i\hat{u_i}$ es 0.

EDITAR: Puede utilizar el método de los momentos en Stata. Resolviendo para $u$ se da el caso de que $$u_i =\ln\left(\frac{1-y_i}{y_i} -\beta_0-\beta_1x_i\right)$$

Así, el código Stata para realizar el método de los momentos basado en $E[u]=0$ y $E[xu]=0$ es

gmm (ln((1-y)/y) -{b0} -{b1}*x ), instrumentos(x)

Sólo tendrá que cambiar los nombres de $x$ y $y$ en función de cómo se llamen en sus datos.