Ley de potencia desplazada en el tiempo en la volatilidad dependiente de la trayectoria

Question

No puedo entender una función que forma parte de un modelo de volatilidad.

Todo esto se explica en un documento de acceso abierto titulado " La volatilidad depende (sobre todo) de la trayectoria "de Guyon y Lekeufack. Después de leer el artículo, creo que podemos modelizar la volatilidad como una simple regresión de

$$\sigma_t = \beta_0 + \beta_1 R_{1,t} + \beta_2 \sqrt{R_{2,t}}$$

El documento ajusta esta ecuación a la volatilidad realizada (RV) y a la volatilidad implícita (IV). Esto significa que $\sigma_t$ es RV o IV y

$$r_{t_i} = \frac{S_{t_i} - S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}$$

$$R_{1,t} = \sum_{t_i \le t} K_1(t-t_i)r_{t_i}$$

y

$$R_{2,t} = \sum_{t_i \le t} K_2(t-t_i)r_{t_i}^2$$

Ahora, $K_1(t)$ y $K_2(t)$ puede ser una de varias funciones de decaimiento, pero la que utiliza el modelo es una ley de potencia desplazada en el tiempo (véase la página 8 del documento):

$$K(\tau) = K_{\alpha, \delta}(\tau) = Z^{-1}_{\alpha, \delta}(\tau + \delta)^{-\alpha}, \quad \tau \ge 0, \quad \alpha > 1, \delta > 0$$

donde en el límite de tiempo continuo

$$Z_{\alpha, \delta} = \int_0^\infty (\tau + \delta)^{-\alpha} d \tau = \frac{\delta^{1-\alpha}}{\alpha -1}$$

Ahora, no puedo entender cómo implementar el $K(\tau)$ funciones. Simplemente no entiendo qué $Z^{-1}_{\alpha, \delta}(\tau)$ y cómo aplicarlo numéricamente. Es $Z(t)$ conectado a la distribución normal pdf?

Answer 1

Los núcleos de ley de potencia desplazados en el tiempo $K_1 (t)$ y $K_2 (t)$ asignan un peso a los rendimientos pasados y a los rendimientos al cuadrado, respectivamente. Cada núcleo es una función de los siguientes parámetros: parámetro de retardo $\tau>0$ , cambio horario $\delta>0$ que garantiza que el núcleo no explote cuando $\tau$ se hace muy pequeño, y $\alpha>1$ es el exponente de escala de la distribución power-law. El término $Z_{\alpha,\delta}$ es un componente de este núcleo, que integra la función de ley de potencia desplazada en el tiempo en el dominio temporal. Como el autor utiliza un límite continuo, no es necesaria la integración numérica. Para aplicar las funciones del núcleo en la práctica, es necesario calibrar los parámetros $\alpha$ y $\delta$ . Los trataré como conocidos, ya que el documento describe cómo pueden calibrarse estos parámetros a partir de los datos del mercado.

Para calcular el $K(\tau)$ en la práctica, he creado un ejemplo de juguete en Excel, considerando una trayectoria aleatoria para el precio de las acciones $S_t$ . Como podemos ver, la función kernel asigna mayores ponderaciones a los rendimientos más recientes, y desaparece con el tiempo.