Valor actual del flujo de beneficios con tipo de interés constante

Question

Estoy estudiando los Modelos Schumpeterianos de Escalas de Calidad del libro de Barro (Cap.7).

Tengo problemas para obtener la derivación de la ecuación $(7.13)$ como sigue

La idea básica de esos modelos es: cuando llega una innovación, en forma de mejoras de la calidad de las variedades de productos existentes, (aleatoriamente) en el $j$ industria en el momento $t_{k_j}$ el monopolista disfrutará de un flujo de beneficios igual a $\pi(k_j)$ hasta que un nuevo (innovador diferente) invente una variedad de producto de mejor calidad $j$ a la vez $t_{k_{j+1}}$ . Una vez que esto ocurra, los beneficios del monopolista anterior pasarán a cero. Entonces, $T(k_j)$ es el intervalo de tiempo en el que el monopolista que realiza una innovación en $t_{k_j}$ obtiene beneficios positivos.

Answer 1

Los pasos matemáticos para llegar de 7.12 a 7.13 son los siguientes:

\begin{aligned} & V\left(k_j\right)=\int_{t_k}^{t_{k+1}} \pi(k) e^{-\frac{v-t_{k}}{v-t_{k}} \cdot \int_{t_k}^v r(\omega) d w} \end{aligned} Teniendo en cuenta que \begin{aligned} & \int_{t_k}^v r d w=r\left(v-t_k\right) \end{aligned} Tenemos: \begin{aligned} & \pi(k) \int_{t_k}^{t_{k+1}} e^{-r\left(v-t_k\right)} d v =\\ &= \pi(k)\left[\frac{e^{-r\left(v-t_k\right)}}{-r}\right]_{v=t_k}^{t_k+1}= \\ & =\pi(k)\left(\frac{-e^{-r\left(t_{k+1}-t_k\right)}+1}{r}\right)= \\ & =\pi(k) \frac{1-e^{-r T_k}}{r}. \\ & \end{aligned}