Estoy un poco confundido con el siguiente problema: Por lo que yo entiendo, el siguiente problema donde
$$\min_{w} \omega^{T}\Sigma\omega$$ $$\textrm{s.t.}\hspace{0.5cm} \omega^{T}\mu=E$$ $$ \omega^{T}\textbf{1}=1 $$
se obtiene la solución analítica $$w^{*}=\frac{\Sigma^{-1}\mu}{1'\Sigma^{-1}\mu} $$ donde $w$ representa el vector de ponderaciones óptimas de la cartera.
La derivación de la primera parece relativamente fácil, ya que la restricción en el problema de maximización es lineal, por lo que puedo resolver el sistema lineal de ecuaciones para los multiplicadores de Lagrange, insertarlos de nuevo en mi primer FOC y resolver para el vector de pesos.
La derivación de la forma analítica de la representación dual equivalente donde i maximiza el rendimiento de la cartera para un nivel dado de volatilidad de la cartera de la forma: $$\max_{w} \omega^{T}\mu$$ $$\textrm{s.t.}\hspace{0.5cm} \omega^{T}\Sigma\omega=\sigma^2$$ $$ \omega^{T}\textbf{1}=1 $$ no es tan sencillo para mí como estoy stuggeling en el punto donde trato de resolver para los multiplicadores de lagrange dado el FOC para las ponderaciones de la cartera: $$\frac{d{L(\dots)}}{d{\omega}}=\mu-2\lambda_{1}\Sigma\omega-\lambda_{2}\textbf{1}=0$$ $$\frac{d{L(\dots)}}{d{\lambda_{1}}}=\sigma^{2}-\omega^{T}\Sigma\omega=0$$ $$\frac{d{L(\dots)}}{d{\lambda_{2}}}=1-\omega^{T}\textbf{1}=0$$
Toma, $\mu$ es el vector de rendimientos esperados, $\omega$ el vector de ponderaciones de los activos, $\Sigma$ la matriz de covarianza, $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$ los multiplicadores de lagrange para las restricciones 1 y 2 y $\sigma^2$ es mi varianza objetivo.
El problema aquí (al menos para mí) es que la primera derivada para el multiplicador de lagrange de la restricción de varianza incluye dos vectores de peso y, por lo tanto, produce una expresión cuadrática, para la que no puedo resolver fácilmente la segunda FOC para los multiplicadores de lagrange necesarios.. y no estoy seguro de si voy por buen camino y, en caso afirmativo, cómo resolver la expresión analítica de $\omega$ .
Mi pregunta: Si quiero maximizar la rentabilidad esperada dado que la varianza de mi cartera es igual a cierta varianza objetivo, ¿cómo puede mi solución $w$ y cómo derivar esto explícitamente paso a paso (o dónde puedo encontrar algún documento donde se haya hecho esta derivación)?
EDIT: Ayer por la noche me pasé unas horas y llegué a la forma cerrada para $\omega$ ignorando la restricción de suma de pesos igual a 100%:
En detalle: $$\max_{w} \omega^{T}\mu$$ $$\textrm{s.t.}\hspace{0.5cm} \omega^{T}\Sigma\omega=\sigma^2$$
El Lagrangean es: $$L(\dots)=\omega^{T}\mu+\lambda(\sigma^{2}-\omega^{T}\Sigma\omega)$$
para los que son los FOC: $$\frac{dL(\dots)}{d\omega}=\mu-2\lambda\Sigma\omega=0$$ $$\frac{dL(\dots)}{d\lambda}=\sigma^{2}-\omega^{T}\Sigma\omega=0$$
tal que $$(\frac{1}{2\lambda}\Sigma^{-1}\mu)\Sigma(\frac{1}{2\lambda}\Sigma^{-1}\mu)=\sigma^2$$ $$\Rightarrow\frac{1}{4\lambda^2}\mu^{T}\Sigma^{-1}\mu=\sigma^2$$ $$\Rightarrow\frac{1}{2\sigma}\sqrt{\mu^{T}\Sigma^{-1}\mu}=\lambda$$
Volviendo a la primera FOC: $$\frac{1}{2}(\frac{1}{\frac{1}{2\sigma}\sqrt{\mu^{T}\Sigma^{-1}\mu}})\Sigma^{-1}\mu=\omega$$ y así: $$\omega^{*}=\frac{\sigma\Sigma^{-1}\mu}{\sqrt{\mu^{T}\Sigma^{-1}\mu}}$$
Para el problema con la restricción de suma de pesos el problema es: $$\max_{w} \omega^{T}\mu$$ $$\textrm{s.t.}\hspace{0.5cm} \omega^{T}\Sigma\omega=\sigma^2$$ $$ \omega^{T}\textbf{1}=1 $$
El Lagrangean se lee como: $$L(\dots)=\omega^{T}\mu+\lambda_{1}(1-\omega^{T}\textbf{1})+\lambda_{2}(\sigma^{2}-\omega^{T}\Sigma\omega)$$
Los BDC son: $$\frac{dL(\dots)}{d\omega}=\mu--\lambda_{1}\textbf{1}-2\lambda_{2}\Sigma\omega=0$$ $$\frac{dL(\dots)}{d\lambda_1}=1-\omega^{T}\textbf{1}=0$$ $$\frac{dL(\dots)}{d\lambda_1}=\sigma^{2}-\omega^{T}\Sigma\omega=0$$
De la primera FOC obtenemos:
$$\omega =\dfrac{1}{2\lambda_1} \Sigma^{-1} ( \mu - \lambda_2 \mathbf{1}) $$
Multiplicando esta a) por $\Sigma$ y una segunda vez b) con $\textbf{1}$ y utilizando el segundo y el tercer BDC:
$$\frac{1}{(2\lambda_1)^2}(\mu -\lambda_2\textbf{1} )^{T}\Sigma^{-1}(\mu-\lambda_2 \textbf{1})=\sigma^2$$ $$\Rightarrow\omega^{T}\mu=\lambda_{1}+2\lambda_{2}\sigma^2$$ y $$\frac{1}{2\lambda_1}\mathbf{1}^{T}\Sigma^{-1}(\mu -\lambda_2\textbf{1} )=1 $$ $$\Rightarrow\omega^{T}\mu=\frac{1}{2\lambda_1}(\mu^{T}\Sigma^{-1}\mu-\lambda_{1}\mu^{T}\Sigma^{-1}\textbf{1})$$
Notación a partir de aquí: $$A=\mu^{T}\Sigma^{-1}\mu$$ $$B=\mu^{T}\Sigma^{-1}\textbf{1}$$ $$C=\textbf{1}^{T}\Sigma^{-1}\textbf{1}$$
Combinando las dos ecuaciones mediante $\omega^{T}\mu$ y eliminando $(2\lambda_1)$ : $$\lambda_{1}+2\lambda_{2}\sigma^2=\frac{1}{2\lambda_{2}}(A-\lambda_{1})$$
Ahora con $\omega$ del primer BDC y multiplica ambos lados por $\textbf{1}$ obtenemos: $$B-\lambda_{1}C=2\lambda_{2}$$
Ahora podemos sustituir $2\lambda_{2}$ en la ecuación anterior y obtenemos la expresión cuadrática: $$\lambda_{1}^{2}(C^{2}\sigma^{2}-C)+\lambda_{1}(2B-BC\sigma^2)+(B^{2}\sigma^{2}-A)=0$$
para las que obtenemos la(s) solución(es) desordenada(s): $$\lambda_{1}^{*}=\frac{-(2B-BC\sigma^2)\pm\sqrt{B^{2}(4-3C^{2}\sigma^{4})-AC}}{2C(C\sigma^{2}-1)}$$
A continuación, resolvemos para $\lambda_{1}$ y $\omega$ :
$$\lambda_{1}^{*}=B-\frac{-(2B-BC\sigma^2)\pm\sqrt{B^{2}(4-3C^{2}\sigma^{4})-AC}}{4C\sigma^{2}-4}$$
y finalmente: $$\omega^{*}=\frac{1}{\frac{-(2B-BC\sigma^2)\pm\sqrt{B^{2}(4-3C^{2}\sigma^{4})-AC}}{2C\sigma^{2}-2}}(\Sigma^{-1}\mu-(\frac{-(2B-BC\sigma^2)\pm\sqrt{B^{2}(4-3C^{2}\sigma^{4})-AC}}{4C\sigma^{2}-4})\Sigma^{-1}\textbf{1})$$
Mis preguntas ahora: ¿Es correcta esta expresión? ¿Para qué valores es positiva la expresión bajo root cuadrada? ¿Existe un razonamiento matemático, que $\lambda_{2}^{*}$ a utilizar (con respecto al $\pm$ -signo)?
Gracias de nuevo por su ayuda :-) Atentamente Thomas
