Valores propios de Markowitz

Question

Encontré este pasaje en un libro sobre PCA y denoising de Markowitz:

Pero los valores propios que son importantes desde la perspectiva del riesgo son los menos importantes desde la perspectiva de la optimización de la cartera. La matriz de información mezcla los rendimientos y tiene valores recíprocos 1/ k de los valores propios de la matriz de covarianza . Esta es una de las razones por las que los gestores de carteras no suelen utilizar métodos de optimización de carteras.

Lo que entiendo es que los valores propios de la matriz de covarianzas son los que más contribuyen al riesgo de la cartera (es decir, los valores propios grandes corresponden a activos con varianzas y covarianzas altas). Pero, ¿por qué es problemático en la matriz de información, que mezcla los rendimientos en la solución de Markowitz?

Es decir, ¿por qué no considerar positivo que los mayores valores propios de la matriz de covarianza se conviertan en los menores valores propios de la matriz de información? A mi entender, esto significaría que no les damos demasiado peso y por lo tanto evitamos correlaciones pesadas? Pero obviamente es al revés...

Answer 1

El principal problema se deriva del caso opuesto al que usted está enfocando: La inversión de la matriz de covarianza conduce a una situación en la que los valores propios más pequeños de la matriz de covarianza (que representan las fuentes menos significativas de riesgo de mercado) se convierten en los valores propios más grandes de la matriz de información (porque $1/\lambda_{\text{small}}$ es grande). Esto significa que estos componentes de menor riesgo reciben la mayor ponderación en la optimización y, como resultado, pueden tener una influencia indebida en la asignación de la cartera.

Esto puede verse más claramente a través de la siguiente derivación. El problema básico de Markowitz que intentamos resolver viene dado por \begin{equation} x(t) = \underset{x \in \mathbb{R}^n}{\text{argmax }} x^T\mu \end{equation} \begin{align} \text{s.t. } x^TQx \leq \sigma_{\text{max}}^2 \end{align} La solución analítica viene dada por $$x^* = \sigma_{\text{max}}\frac{Q^{-1}\mu}{\mu^T Q^{-1}\mu}.$$ La inversa de $Q$ tiene la eigendecomposición $$Q^{-1} = V D^{-1} V^T,$$ donde $V$ es la matriz de vectores propios y $D$ la matriz diagonal con valores propios. La descomposición se puede presentar como un producto externo de la siguiente manera: $$Q^{-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\lambda_i} v_i v_i^T.$$ Introduciendo esto en la fórmula analítica se obtiene $$x(t) = \frac{\sigma_{\text{max}}}{\mu^T Q^{-1} \mu} \sum_{i=1}^{n} \frac{v_i^T \mu}{\lambda_i} v_i.$$ Por lo tanto, podemos ver que la solución óptima al problema estándar de Markowitz está más fuertemente influenciada por los vectores propios con el valor propio más pequeño de la matriz de covarianza. Especialmente si $\lambda_i$ es extremadamente cercano a cero, el vector propio correspondiente dominará a todos los demás, haciendo que la cartera resultante "explote".

Fuente de la derivación: Siete pecados en la optimización de carteras