¿Es correcta mi solución sobre Black Scholes?

Question

Pregunta: Considere en el contexto del modelo de Black Scholes con la dinámica del precio de las acciones $d S_{t}=\mu S_{t} d t+\sigma S_{t} d W_{t}$ Precio inicial de las acciones $S_{0}>0$ y con cuenta del mercado monetario $B_{t}=\exp (r t)$ para $r>0$ una denominada opción de venta binaria con pago $h\left(S_{T}\right)=1_{\left\{S_{T} \leq K\right\}}$ para algunos $K>0$ . Utilice la fórmula de fijación de precios neutral al riesgo para calcular el precio de la opción a $t=0$ y la posición en acciones de la cartera de cobertura correspondiente.

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Esto es lo que he probado:

El precio de una opción de venta binaria con liquidación $h(S_T) = 1_{\{S_T \leq K\}}$ puede obtenerse tomando la expectativa neutral al riesgo de la remuneración binaria según el modelo Black-Scholes.

Utilizando la fórmula Black-Scholes, el precio de las acciones $S_T$ al vencimiento sigue una distribución lognormal, dada por: $$S_T = S_0 \cdot e^{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z},$$ donde $S_0$ es el precio inicial de las acciones, $r$ es el tipo de interés sin riesgo, $\sigma$ es la volatilidad del precio de las acciones, $T$ es el tiempo hasta la expiración, y $Z$ es una variable aleatoria normal estándar.

Para calcular la expectativa, evaluamos la probabilidad de que $S_T \leq K$ bajo la distribución lognormal: $$\mathbb{E}[h(S_T)] = \mathbb{P}(S_T \leq K).$$

Tomando el logaritmo natural de ambos lados, obtenemos: $$\ln(S_T) = \ln(S_0) + (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z.$$

Reordenando la desigualdad, tenemos: $$\ln\left(\frac{S_T}{S_0}\right) \leq \ln\left(\frac{K}{S_0}\right).$$

Sustituyendo la expresión para $\ln(S_T)$ obtenemos: $$\ln\left(\frac{S_0 \cdot e^{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z}}{S_0}\right) \leq \ln\left(\frac{K}{S_0}\right).$$

Simplificando aún más, tenemos: $$(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z \leq \ln\left(\frac{K}{S_0}\right).$$

Desde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar, la probabilidad $\mathbb{P}(S_T \leq K)$ es equivalente a la probabilidad $\mathbb{P}\left((r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z \leq \ln\left(\frac{K}{S_0}\right)\right)$ .

Ahora podemos utilizar la función de distribución acumulativa normal estándar $\Phi(\cdot)$ para calcular la probabilidad: $$\mathbb{E}[h(S_T)] = \mathbb{P}(S_T \leq K) = \Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right) + (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}\right).$$

Por lo tanto, el precio de la opción de venta binaria en el momento $t = 0$ viene dada por la expectativa neutral de riesgo: $$\text{Price} = e^{-rT} \cdot \mathbb{E}[h(S_T)] = e^{-rT} \cdot \Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right) + (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}\right).$$

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actualizado:

Para calcular el precio de la opción de venta binaria en el momento $t = 0$ suponiendo un tipo de interés sin riesgo igual a cero, podemos utilizar la función de distribución acumulativa de $-d_2$ :

$$\text{Price} = e^{-rT} \cdot \mathbb{P}(S_T \leq K) = e^{-rT} \cdot \Phi(-d_2),$$

donde $\Phi(\cdot)$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar.

Para calcular $d_2$ calculamos primero $d_1$ utilizando la fórmula:

$$d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)}{\sigma \sqrt{T}} + \frac{1}{2}\sigma \sqrt{T}.$$

Entonces, podemos obtener $d_2$ como:

$$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}.$$

Por último, sustituimos $d_2$ en la expresión del precio de la opción de venta binaria:

$$\text{Price} = e^{-rT} \cdot \Phi\left(-\left(d_1 - \sigma \sqrt{T}\right)\right).$$

Answer 1

Demasiado largo para un comentario, así que lo publicaré como respuesta.

No estoy seguro de que tu actualización tenga sentido, me parece que sólo estás `haciendo' que funcione.

En tu primer intento, todo tenía sentido hasta que $$\mathbb P(rT - \tfrac12 \sigma^2T + \sigma \sqrt T Z \leq \log K/S_0)$$ y después llegaste a una conclusión errónea sin detallar los pasos intermedios.

La cuestión es que $$rT - \tfrac12 \sigma^2T + \sigma \sqrt T Z \leq \log K/S_0$$ es equivalente a $$Z \leq \frac{\log K/S_0 - rT + \tfrac12 \sigma^2T}{\sigma \sqrt T} = -d_2$$ Y utilizando esto y el hecho de que $Z$ tiene una distribución normal estándar se deduce que el precio de la opción de venta binaria es $$e^{-rT} N(-d_2)$$