Prueba del coste de Lucas de los ciclos económicos

Question

Intento deducir el parámetro utilizado por Lucas para medir el coste de los ciclos económicos, a saber:

derivada en el documento "Macroeconomic Priorities". Ya he buscado en varios documentos, pero soy incapaz de encontrar la derivación completa que conduce a esta expresión.

¿Puede alguien ayudarme o indicarme dónde puedo encontrarlo? Ahora que en el periódico se dice que viene de "cancelar, tomar registros,y cobrar plazos", pero realmente soy incapaz de atar cabos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Primero expondré las hipótesis de Lucas. Primero supongamos

$$ c_t = Ae^{\mu t}e^{-(1/2)\sigma^2}\varepsilon_t, $$ donde $\log \varepsilon_t \sim N(0, \sigma^2)$ . Bajo estos supuestos, tenemos $\mathrm{E}e^{-(1/2)\sigma^2}\varepsilon_t = 1$ y $\mathrm{E}c_t = Ae^{\mu t}$ . Los costes de los ciclos económicos se definen entonces como el $\lambda$ que resuelve (seguro que Lucas intuye suficientemente por qué se define así)

$$ \mathrm{E}\left\{\sum_{t=0}^\infty \beta^t \frac{[(1 + \lambda)c_t]^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}\right\} = \sum_{t=0}^\infty \beta^t \frac{(Ae^{\mu t})^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}, $$

que se cumple si para cada $t$

$$ \mathrm{E}\left\{\beta^t\frac{[(1 + \lambda)c_t]^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}\right\} = \beta^t\frac{(Ae^{\mu t})^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}. $$

Antes de llegar al paso de cancelación, introduzca el proceso supuesto para $c_t$ :

$$ \mathrm{E}\left\{\beta^t\frac{[(1 + \lambda) Ae^{\mu t}e^{-(1/2)\sigma^2}\varepsilon_t]^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}\right\} = \beta^t\frac{(Ae^{\mu t})^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}. $$

Dado que la única variable aleatoria es $\varepsilon_t$ se puede extraer todo lo que no dependa de $\varepsilon_t$ fuera de la expectativa de conseguir

$$ \left\{\beta^t\frac{[(1 + \lambda) Ae^{\mu t}e^{-(1/2)\sigma^2}]^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}\right\}\mathrm{E}\varepsilon_t^{1 - \gamma} = \beta^t\frac{(Ae^{\mu t})^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}. $$

Comparando los lados izquierdo y derecho, podemos cancelar un montón de términos para obtener

$$ (1 + \lambda)^{1 - \gamma}e^{-(1 - \gamma)(1/2)\sigma^2}\mathrm{E}\varepsilon_t^{1 - \gamma} = 1. $$

Ahora escriba (recuerde que $\log\varepsilon_t$ se distribuye normalmente, y $\mathrm{E}e^{tX} = e^{\tilde{\mu} t + \tilde{\sigma}^2 t^2/2}$ para cualquier variable aleatoria distribuida normalmente $X$ con media $\tilde{\mu}$ y varianza $\tilde{\sigma}^2$ )

\begin{align} \mathrm{E}\varepsilon_t^{1 - \gamma} &= \mathrm{E}e^{(1-\gamma)\log \varepsilon_t} \\ &= e^{(1- \gamma)^2 \sigma^2 /2} \end{align}

Introduciendo esto y reordenando, tenemos

$$ (1 + \lambda)^{1- \gamma} = e^{\gamma (1 - \gamma)(1/2)\sigma^2}. $$

Ahora toma los registros de ambos lados

$$ (1 - \gamma) \log(1 + \lambda) = \gamma (1 - \gamma) (1/2) \sigma^2, $$

Anulación de las condiciones y constatación de que $\log(1 + \lambda) \approx \lambda$ para pequeños $\lambda$ obtenemos

$$ \lambda \approx \frac{1}{2}\gamma \sigma^2. $$

Espero que te haya servido de ayuda.