Definición de la estructura de la información en un juego de información incompleta

Question

Intento comprender el modelo en este páginas 48-49. (Bergemann, D., & Morris, S. (2019). Diseño de la información: Una perspectiva unificada. Journal of Economic Literature, 57(1), 44-95. https://doi.org/10.1257/jel.20181489 ) Definen un juego incompleto (juego básico) junto con una estructura de información, donde el "juego básico" se define por:

• Hay un número finito de jugadores, cada uno denotado por $i$ ,
• Un conjunto finito de acciones para cada $i$ denotado $A_i$ y el perfil de acción se denota por $A$
• Un conjunto de estados de pago del mundo, denotado $\Theta$ y $\theta$ denota un estado específico de $\Theta$
• Una función de retribución para cada $i$ , $u_i : A \times \Theta \to \mathbb{R}$
• Una distribución de probabilidad con soporte completo sobre $\Theta$ denotado $\psi\in \Delta(\Theta)$

Entonces el juego básico es $G=((A_i,u_i), \Theta, \psi)$ . Por otra parte, la "estructura de la información" $S$ se define por:

• Un conjunto finito de tipos para cada $i$ denotado $t_i \in T_i$ y el perfil de tipo se denota por $T$
• Una distribución de tipos $\pi : \Theta \to \Delta(T)$

A continuación, definen $S= ((T_i), \pi)$ y combinan estos dos para definir el juego general de información incompleta: $(G,S)$ .

Mi único antecedente sobre el tema es el curso que cursé el semestre pasado, titulado "Economía de la información". Allí, en todos los modelos que consideramos, desde la teoría de contratos hasta el diseño de mecanismos, pasando por el diseño de información, sólo definimos "tipos", y los consideramos la única variable que crea la incertidumbre. Así, supongo que lo que hicimos fue establecer el "conjunto de estados de pago del mundo" equivalente al "conjunto de informaciones privadas (tipos) de los jugadores". Pero en este documento, la terminología es diferente, así que estoy teniendo problemas con eso. Siempre hemos considerado la distribución de tipos a través de alguna función de distribución acumulativa, a menudo una simple como la distribución uniforme. Resolvimos los distintos problemas tomando las expectativas sobre los tipos, utilizando la fdc y la fdp correspondiente. Pero en el documento, los tipos se distribuyen de acuerdo con alguna función vaga $\pi$ que se define sobre el conjunto de estados del mundo. Mi primera suposición es que en los modelos que consideramos en mi curso, no diferenciamos entre "los estados de los mundos", y simplemente utilizamos alguna fdc en lugar de $\pi$ en el periódico.

Lo que entiendo de esto es que después de que el verdadero estado $\theta$ del mundo se hace realidad, $\pi(\theta)$ está a disposición de los jugadores, y asigna a cada perfil de tipo posible una probabilidad $t= (t_1, ..., t_n) \in T$ ? Así, cada jugador, incluido el diseñador del mecanismo, conoce la distribución de probabilidad de los tipos una vez que observa el estado verdadero $\theta$ ? Si mi interpretación es correcta, ¿podemos decir que el artículo añade una capa más de incertidumbre sobre la incertidumbre de los tipos? Porque igual que conocer la cdf no implica conocer los tipos de los demás, conocer $\pi(\theta)$ no significa que se haya resuelto la incertidumbre. Todos estos comentarios se hacen con mi suposición inicial de que " $\pi(\theta)$ sirve como un cdf sobre la información privada de los jugadores" y dudo que sea una interpretación correcta.

La última: ¿Cuál es la interpretación de los "estados de pago del mundo"? Quiero decir por qué lo necesitamos, podemos sacar resultados similares de varios modelos donde definimos la incertidumbre sólo por "tipos", informaciones privadas para los jugadores. ¿Por qué definen dos objetos diferentes como $\Theta$ y $T$ ?

Answer 1

En la formulación habitual de los juegos de información incompleta y en el diseño de mecanismos, los tipos representan tanto todo lo que entra en la función de pago de un jugador que no es una acción como la información de que disponen los jugadores. En el diseño de información, lo que se quiere estudiar son los efectos de cambiar sólo la información.

Se puede ilustrar el problema con el caso teóricamente trivial del ejemplo introductorio de [Kamenica, Emir y Matthew Gentzkow. "Persuasión bayesiana". Revista Económica Americana 101.6 (2011): 2590-2615.]

Hay un único jugador (!), un juez que tiene la tarea de condenar ( $G$ ) o no condenar ( $N$ ) algún acusado. Así que $A=\{G,N\}$ El acusado es culpable ( $G$ ) o inocente ( $N$ ). Consideramos que estos son los estados de la naturaleza relevantes para la retribución: $\Theta=\{G,N\}$ . El juez considera que el acusado es a priori culpable con probabilidad de $0.3$ . Esto da $\psi(G)=0.3$ y $\psi(N)=0.7$ . El juez quiere condenar a los acusados culpables y no a los inocentes. Acertar en la decisión, da una recompensa de $1$ equivocándose $0$ . Así que $u(a,\theta)=1$ si $a=\theta$ y $u(a,\theta)=0$ si $a\neq\theta$ . Esto nos da el juego básico.

Pero también queremos modelar lo que ocurre si el juez recibe más información. Resulta que dos señales son suficientes aquí, así que podemos tomar $T=\{g,i\}$ . Una señal $\pi:\Theta\to\Delta(T)$ especifica para ambos estados la distribución condicional sobre las señales. Se puede demostrar (por ejemplo, utilizando los métodos que presentan Bergemann y Morris) que una señal que maximiza la probabilidad de convicción establece $\pi(g\mid G)=1$ y $\pi(g|N)=3/7$ . Supongamos que el juez recibe la señal $g$ . Esto ocurre con probabilidad $0.3\cdot 1+0.7\cdot 3/7$ . La probabilidad condicional de que el acusado sea culpable es entonces $0.3/(0.3+0.7\cdot3/7)$ . Si tomamos esta estructura de información como fija, podríamos definir la retribución del juez para cada acción como la retribución esperada dada la señal (=tipo), y el juez se comportaría de la misma manera. Pero entonces no podríamos variar la información.

Obsérvese que Bergemann y Morris suponen que hay un número finito de estados de la naturaleza, por lo que se puede dar una distribución de probabilidad de soporte completo simplemente enumerando la probabilidad de cada estado, como se hace aquí. Las distribuciones de probabilidad dadas por la función de distribución acumulativa deben definirse en la recta real ( $n$ -dimensiones también funcionan), pero $\Theta$ puede ser abstracto como aquí. Una distribución de probabilidad procedente de una densidad (con respecto a la medida de Lebesgue) nunca puede tener soporte finito. Así que todas estas cuestiones acerca de las probabilidades son arenques rojos aquí.