Función característica del proceso Gamma-OU

Question

Consideremos el proceso Gamma-Ornstein-Uhlenbeck definido de la forma en que lo hace Barndorff-Nielsen, pero consideremos una media de larga duración diferente $b$ que puede ser mayor que cero:

$$dX(t) = \eta(b - X(t))dt + dZ(t)$$ Dónde $$Z(t) = \sum_{n=1}^{N(t)}J_n$$ Con $N(t)$ siendo Poisson( $\lambda t$ ) y $J_n$ iid Exponencial( $k$ )

Esto tiene solución $$X(t) = b + \mathrm{e}^{-\eta (t-t_0)}\left[X(t_0) - b\right] + \sum_{n=N(t_0)}^{N(t)}\mathrm{e}^{-\eta (t-\tau_n)}J_n$$ Dónde $\tau_n$ son los tiempos de salto de $N(t)$

¿Cuál es la función característica de la parte estocástica (la parte de Poisson compuesta)? Llamémoslo $\bar{Z}$ .

Además, hay un proceso diferente definido como $$dY(t) = \eta(b - Y(t))dt + dZ(\eta t)$$ Que se dice que tiene siempre la misma distribución para cada punto temporal (como se ve en Schoutens 2003). ¿Cuál es la función característica en este caso? Supongo que se supone que es una función característica gamma, pero no veo qué parámetros debe tener; ¿es realmente independiente de $t_0$ y $t$ ?

He estado leyendo muchos artículos relacionados con el tema, pero sólo funcionan con la transformada de Laplace. He calculado una versión de la función característica de $\bar{Z}(t)|\bar{Z}(t_0)$ utilizando el teorema

$$\Phi_{\bar{Z}(t)|\bar{Z}(t_0)}(u) = \Phi_{\int_{t_0}^t f(s) dZ(s)}(u) = \exp\left[ \int_{t_0}^t \Psi_{Z(s)}(uf(s))ds\right]$$

Donde tenemos el exponente característico del proceso de Poisson compuesto dado por

$$\Psi_{Z(t)} = -\lambda \left( 1 - \frac{k}{k-iu} \right)$$

Y la función $f(s)$ en nuestro caso es $\mathrm{e}^{-\eta(t-s)}$ .

Obtuve una fórmula enorme, así que desconfío de mis resultados. Aquí está el resultado que obtuve:

$$\Phi_{\bar{Z}(t)|\bar{Z}(t_0)}(u) = \exp\left\{-\lambda\int_{t_0}^t \left(1 - \frac{k}{k - iu\mathrm{e}^{-\eta(t-s)}} \right)ds\right\}$$

$$\Phi_{\bar{Z}(t)|\bar{Z}(t_0)}(u) = \exp \left\{\frac{\lambda\log\left[\mathrm{e}^{2 \eta t_0}u^2+k^2\mathrm{e}^{2 \eta t}\right]}{2 \eta} - \frac{\lambda\log\left[\mathrm{e}^{2 \eta t}u^2+k^2\mathrm{e}^{2 \eta t}\right]}{2 \eta}- \frac{i \lambda}{\eta}\arctan\left(\frac{\mathrm{e}^{-\eta (t-t_0)} u}{k}\right) + \frac{i \lambda}{\eta} \arctan\left(\frac{u}{k}\right) \right\}$$

Con algo de limpieza,

$$\Phi_{\bar{Z}(t)|\bar{Z}(t_0)}(u) = \left( \frac{k^2 + u^2 \mathrm{e}^{-2\eta(t-t_0)}}{k^2 + u^2}\right)^{\frac{\lambda}{2\eta}}\exp\left\{ i \frac{\lambda}{\eta} \arctan\left( \frac{ku\left(1 - \mathrm{e}^{\eta(t-t_0)} \right)}{k^2 + u^2 \mathrm{e}^{\eta(t-t_0)}} \right) \right\}$$

Y el límite cuando $t \rightarrow +\infty$

$$\Phi_{\bar{Z}(+\infty)|\bar{Z}(t_0)}(u) = \left( \frac{k^2}{k^2 + u^2}\right)^{\frac{\lambda}{2\eta}}\exp\left\{ i \frac{\lambda}{\eta} \arctan\left( \frac{u}{k}\right) \right\}$$

Y a partir de aquí no sé cómo manipularlo para que el límite estacionario sea la función característica gamma (suponiendo que lo sea).

Además, contradice un resultado que encontré en otro documento( https://arxiv.org/pdf/2003.08810v1.pdf Ec.5), que omite los cálculos y remite a otra fuente que sólo tiene la transformada de Laplace ( https://core.ac.uk/download/pdf/96685.pdf Ejemplo 3.4.3). Ese documento dice que la función característica es: $$\Phi_{\int_{t_0}^t f(s) dZ(s)}(u) = \left( \frac{k - iu\mathrm{e}^{-\eta(t-t_0)}}{k - iu}\right)^{\lambda / \eta}$$

Sin embargo, algunas pruebas numéricas que he realizado parecen indicar que esto podría ser erróneo.

EDITAR : Empiezo a sospechar que podría conseguir que la forma polar que he obtenido acabe dando el mismo resultado que en el artículo, o al revés, reescribir el del artículo en esta forma polar. Creo que mis errores numéricos vienen del polo a $\bar{Z}(t)=0$ , ya que cuando estoy invirtiendo numéricamente la función característica para obtener el pdf no consigo separar la parte "no singular" de la función característica de la completa y añadir el polo al final.

Answer 1

He confirmado que las dos formas de las funciones características son equivalentes, lo que pasa es que yo había obtenido una forma polar. He aquí la deducción de la forma original a la mía (más fácil de mostrar), primero simplificando la notación escribiendo el término exponencial como $c$ :

$$\Phi(u) = \left( \frac{k-iuc}{k-iu} \right)^{\lambda/\eta} = \left( \frac{\sqrt{k^2+(uc)^2}\mathrm{e}^{i \arctan \left(-uc/k\right)}}{\sqrt{k^2 + u^2}\mathrm{e}^{i \arctan \left(-u/k\right)}} \right)^{\lambda/\eta} = \left( \sqrt{\frac{k^2+(uc)^2}{k^2 + u^2}}\exp\left\{i \left[\arctan\left(-\frac{uc}{k}\right) - \arctan \left(-\frac{u}{k}\right)\right]\right\} \right)^{\lambda/\eta} = \left( \sqrt{\frac{k^2+(uc)^2}{k^2 + u^2}}\exp\left\{i \left[\arctan \left(\frac{-\frac{uc}{k}-(-\frac{u}{k})}{1+(-\frac{uc}{k})\cdot(-\frac{u}{k})}\right)\right]\right\} \right)^{\lambda/\eta} = \left( \sqrt{\frac{k^2+(uc)^2}{k^2 + u^2}}\exp\left\{i \left[\arctan \left(\frac{\frac{u}{k}(1-c)}{1+\frac{u^2 c}{k^2}}\right)\right]\right\} \right)^{\lambda/\eta} = \left( \sqrt{\frac{k^2+(uc)^2}{k^2 + u^2}}\exp\left\{i \left[\arctan \left(\frac{ku(1-c)}{k^2+ u^2 c}\right)\right]\right\} \right)^{\lambda/\eta}$$

Y finalmente $$\Phi(u) = \left(\frac{k^2+u^2 \mathrm{e}^{-2\eta(t-t_0)}}{k^2 + u^2}\right)^{\frac{\lambda}{2\eta}}\exp\left\{i \frac{\lambda}{\eta} \left[\arctan \left(\frac{ku(1-\mathrm{e}^{-\eta(t-t_0)})}{k^2+ u^2 \mathrm{e}^{-\eta(t-t_0)}}\right)\right]\right\}$$

Me falta la distribución para el caso estacionario, que era mi otra pregunta, así que queda abierta.