Ecuación de Euler intertemporal

Question

https://mitsloan.mit.edu/shared/ods/documents?DocumentID=4171#:~:text=Una%20ecuación%20de%20Euler%20es%20a,variables%20a lo largo%20de%20un%20camino%20óptimo .

Con respecto a la función de utilidad intertemporal para el consumo descrita en el documento anterior, u'(c_(t+1))/u'(c_(t))=beta^(-1)*R^(-1), ¿hay algún razonamiento más fundamental en esta ecuación? En otras palabras, ¿se supone que debemos aceptar que unos tipos de interés más bajos en el momento t aumentarán el consumo en el momento t+1, o existe alguna prueba matemática de ello?

Esta pregunta es a la luz del hecho de que había y hay escepticismo sobre este hecho estilizado . No estoy diciendo que sea correcto o incorrecto, sino que tal vez la relación no debería ser una base fundamental de la macroeconomía sin más motivación.

Answer 1

He aquí una demostración matemática de la ecuación de Euler. Supongamos que el hogar está vivo en los períodos $t$ y $t+1$ . Suponemos que el propietario desea maximizar la utilidad vitalicia, que es igual a $$u(c_{t})+\beta u(c_{t+1}),$$ donde el $\beta \in [0,1]$ es el tipo de descuento. La familia tiene una restricción presupuestaria: $$c_{t}+s= y_{t}, \quad c_{t+1} = R s + y_{t+1},$$ donde $s$ denota ahorro, y $y_{t}$ indica período $t$ ingresos. Podemos sustituir $s$ para obtener la restricción presupuestaria de por vida: $$c_{t}+R^{-1}c_{t+1} = y_{t} + R^{-1}y_{t+1}.$$ Así, el hogar se enfrenta al siguiente problema de maximización de la utilidad: \begin{align}\max_{c_{t}, c_{t+1}}u(c_{t})+\beta u(c_{t+1})\\s.t. c_{t}+R^{-1}c_{t+1} = y_{t} + R^{-1}y_{t+1}\end{align} El Lagrangiano para este problema es: $$\mathscr{L}=u(c_{t})+\beta u(c_{t+1})+\lambda (c_{t}+R^{-1}c_{t+1} - y_{t} -R^{-1}y_{t+1}).$$ Suponiendo que la función de utilidad sea `bien comportada' (creciente y cóncava), la solución al problema de maximización satisface las condiciones de primer orden: \begin{align} u'(c_{t})=\lambda,\\ \beta u'(c_{t+1})=R^{-1}\lambda. \end{align} La ecuación de Euler procede de estas condiciones de primer orden. Simplemente sustituimos $\beta R u'(c_{t+1})= \lambda$ en el primero en obtener: $$u'(c_{t})=\beta R u'(c_{t+1}),$$ que equivale a $$\frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}=\beta^{-1} R^{-1}.$$

La intuición es que cuando $R$ es mayor, el consumo futuro es ` más barato"; porque hay una mayor rentabilidad del ahorro. Así pues, al hogar le sale mejor cambiar parte de su consumo actual por consumo futuro.

Answer 2

1. Esto no es un hecho estilizado . Es un resultado de un modelo teórico estilizado que, en todo caso, aleja la incertidumbre.

2. Con la incertidumbre incluida, la "fórmula de Euler" puede escribirse (tiempo discreto), desde el punto de vista del hogar parado en el tiempo $t$

$$u'(c_t) =\beta R_{t}\,\mathbb{E} \big[ u'(c_{t+1})\mid t\big]\implies \frac{\mathbb{E} \big[ u'(c_{t+1})\mid t\big]}{u'(c_t)} = \frac{1}{\beta R_{t}}$$

¿Cómo se puede describir esto con palabras?

"Si se aumentan los rendimientos de los ahorros actuales, $R_t \uparrow$ , formaré un consumo plan $\{c_t, c_{t+1}\}$ donde el ratio de la izquierda será menor que antes del aumento de los rendimientos".

¿Cómo puedo reducir esta proporción?

Al disminuir mi actual consumo (lo que conduce a una mayor utilidad marginal en la actualidad) y por planificación para aumentarla en el futuro.

Así pues, lo que la fórmula dice realmente es que unos tipos de interés más altos aumentarán el ahorro hoy, con el intento para consumir más mañana (lo que presumiblemente es factible gracias a este mayor ahorro).

Conociendo la realidad, deberíamos comprobar en los datos

1. ¿Aumentan los tipos de interés el ahorro?
2. Supongamos que lo hacen. ¿Detectamos esta relación positiva entre los tipos de interés hoy y el consumo mañana?

Si no lo hacemos, empezamos a pensar en qué otras fuerzas dejadas fuera del modelo teórico central pueden ser importantes después de todo... y el segundo enlace que proporciona el OP dice

Los bajos tipos de interés han estimulado el consumo de bienes duraderos, pero el efecto expansivo se ve parcialmente amortiguado por el deseo de los hogares de de desapalancarse voluntariamente.

En inglés, los hogares ya tenían deudas y querían reducirlas, algo que "amortiguaba" el efecto predicho por la ecuación de Euler.

Ahora, tenga en cuenta, que ese estudio se refiere a bajando tipos de interés, para impulsar el consumo hoy . Es el efecto contrario, pero procede de la misma lógica. "Si $R_t \downarrow$ etc."