Determinar si los bienes son sustitutivos o complementarios a partir de la función de demanda

Question

Así que tengo un consumidor con una función de utilidad de la forma Cobb-Douglas $v(x_1,x_2)=x^{\frac{1}{2}}_1x^{\frac{1}{2}}_2$ .

A partir de ahí construí la función de demanda para el bien 1 y el bien 2:
$x_1=\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{p_1}$

$x_2=\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{p_2}$

A partir de aquí, debo determinar si el bien 1 y el bien 2 son sustitutivos o complementarios. Mi profesor me dijo que tomara la derivada con respecto a $m, p_1$ y $p_2$ Sin embargo, no consigo un resultado razonable. Por lo que he llegado a entender de mi libro, tengo que encontrar $\frac{dx_1}{dp_2}$ la variación de la demanda del bien 1 al variar el precio del bien 2. Sustituyendo m por $p_1x_1+p_2x_2$ también se desordena. Entiendo el problema teóricamente, pero simplemente no puedo averiguar cómo argumentar adecuadamente utilizando las matemáticas, en lugar de la lógica.

Espero que alguien esté dispuesto a ayudar

Answer 1

Las exigencias marshallianas son funciones $x_i(p_1,p_2,m)$ .

Usted trata $m$ como variable independiente en lugar de $p_1 x_1 + p_2 x_2$ .

Como las demandas no dependen de los precios cruzados (ya que no aparecen en las fórmulas), es decir,

$\frac{\partial x_1}{\partial p_2} = 0$ ,

$\frac{\partial x_2}{\partial p_1} = 0$ ,

no son bienes complementarios ni sustitutivos, son bienes no relacionados.

Intuitivamente, si tuviera que gastar todo el presupuesto en un bien, compraría

$x_i = \frac{m}{p_i}$ unidades de ese bien.

La demanda de ambos productos $x_1, x_2$ multiplicado por $\frac{1}{2}$ .

Esto significa que estás gastando la mitad del presupuesto en cada bien independientemente de sus precios relativos.

Por ejemplo, supongamos que gasto la mitad de mi presupuesto en pizzas y la otra mitad en hamburguesas.

Si el precio de las pizzas aumentara de repente, seguiría gastando ese $\frac{m}{2}$ en pizzas, pudiendo comprar menos pizzas con él, por supuesto.

Pero aún así dejaría el otro gasto de $\frac{m}{2}$ en hamburguesas intactas. Como no voy a cambiar mi gasto en hamburguesas y su precio no ha cambiado, compraría la misma cantidad de hamburguesas independientemente del cambio de precio de las pizzas.

Nota: Una bella propiedad de la función de demanda Cobb-Douglas es que cuando los exponentes suman $1$ cada exponente corresponde a la proporción del presupuesto que gastarías en ese bien específico.

Si los exponentes no suman 1, basta con dividir cada exponente por la suma de los exponentes para obtener el cociente.

Las exigencias marshallianas para un Cobb-Douglas general $u(x_1,x_2) = C x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\beta}$ son

$x_1 = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \frac{m}{p_1}$ ,

$x_2 = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \frac{m}{p_2}$ .

Por lo tanto, para toda función de utilidad Cobb-Douglas, los bienes no están relacionados (no son complementos ni sustitutos).

Answer 2

Los sustitutos y los complementos vienen determinados por la elasticidad de sustitución que es un características de la función de utilidad . Se puede calcular de la siguiente manera:

$$\sigma_{ij} = \frac{\frac{\partial (x_j/x_i)}{x_j/x_i}}{\frac{\partial MRS_{ij}}{MRS_{ij}}}$$

Véase que esta elasticidad de sustitución caracterizada por cada par de bienes (cualquier $x_i$ y $x_j$ ) en la función de utilidad.

¿Por qué es importante? Porque sabes una cosa importante:

• Si la elasticidad de sustitución es alta ( $\sigma_{i,j} > 1$ ), entonces es (relativamente) fácil sustituir su par de bienes entre cada uno, por lo tanto trabajas con sustitutos .
• Si la elasticidad de sustitución es baja ( $\sigma_{i,j} < 1$ ), entonces es (relativamente) difícil sustituir su par de bienes entre cada uno, por lo tanto trabaja con complementos .

¿Por qué necesitamos saberlo? Porque se puede demostrar que para

• $\sigma_{i,j}>1$ la elasticidad cruzada en caso de precios lineales será siempre positiva.
• $\sigma_{i,j}>1$ la elasticidad cruzada en caso de precios lineales será siempre negativa.

La elasticidad cruzada de los precios puede caracterizarse como:

$$e_{P_j}^{x_i} = \frac{\frac{\partial x_i}{x_i}}{\frac{\partial P_j}{P_j}}$$

Se trata de variaciones porcentuales que pueden reescribirse en términos de logaritmos:

$$e_{P_j}^{x_i} = \frac{ln(x_i)}{ln(P_j)}$$

Por lo tanto:

• Elasticidad cruzada positiva significa que el aumento del precio del otro bien en un 1 implica un aumento de la demanda de nuestros productos . Por lo tanto, tenemos sustitutos ¡!
• Elasticidad cruzada negativa significa que el aumento del precio del otro bien en un 1 implica una disminución de la demanda de nuestro producto . Por lo tanto, tenemos complementos ¡!

Así que lo que hay que hacer es tomar la demanda marshalliana y calcular la elasticidad cruzada de precios de la siguiente manera:

$$e_{P_j}^{x_i} = \frac{\partial x_i}{\partial P_j} * \frac{P_j}{x_i}$$

Dónde $x_i$ es la demanda del bien $i$ .

Answer 3

Usted debe comprobar este video, me ayudó de todos modos https://www.youtube.com/watch?v=0BJ4GUpvKHQ