Cálculo de la elasticidad

Question

Tengo una función de utilidad que depende del consumo y del ocio, $u(c, 1-h) = log(c) + Alog(1-h)$ sujeto a $c = wh + I$ , $w$ es el salario, $I$ son los ingresos, $h$ son las horas trabajadas. He planteado el problema de optimización y he obtenido una expresión en la que $h = \frac{w-AI}{w+Aw}$ y necesito calcular la elasticidad de h con respecto a w, la elasticidad salarial de la oferta de trabajo. Lo he calculado utilizando la derivada de h con respecto a w y he obtenido una expresión para la elasticidad = $\frac{I(A+A^2)}{(w+Aw)^2}$ . Pero la respuesta correcta es $\frac{1-h}{h}$ y no entiendo cómo conseguirlo.

Así que ahora no estoy seguro de cómo proceder, creo que tengo la respuesta correcta, pero intuitivamente, $\frac{1-h}{h}$ tiene más sentido.

Answer 1

La elasticidad, que denotamos por $\eta$ es $$\eta = \frac{\partial h}{\partial w} \frac{w}{h}.$$

Desde

$$\frac{\partial h}{\partial w} = \frac{I A}{w^2(1+A)},$$

tenemos

$$\eta = \frac{I A}{w^2(1+A)} \frac{w}{h} = \frac{I A}{w(1+A) h} = \frac{IA}{w-IA},$$

donde utilicé el nivel óptimo de $h$ para obtener la última igualdad. Nótese, sin embargo, que su elasticidad no es igual a $(1-h)/h$ como $$\frac{1-h}{h} = \frac{w A + IA}{w-IA} = \frac{w A }{w-IA} + \eta. $$