SDE combinación lineal del precio de las acciones

Question

Supongamos que $X_t$ es un proceso con dinámica $dX_t = \sigma X_t dW_t$ es donde $W_t$ es un movimiento browniano estándar. Dadas dos funciones deterministas $p(t)$ y $q(t)$ calcular $\mathbb{E}[p(t)X(t)+q(t)]$ .

Solución

Desde $p$ y $q$ son deterministas tenemos $$\mathbb{E}[p(t)X(t)+q(t)] = p(t) \mathbb{E}[X(t)]+q(t)=p(t)X_0+q(t)$$ donde la última ecuación del hecho de que $X_t$ es una martingala. Para ser más precisos, $\mathbb{E}[X(t)|X_0]=X_0$ .

Dinámica SDE

Quiero derivar la SDE para $p(t)X(t)+q(t)$ utilizando el lema de Ito. En primer lugar, considero el caso $V(t)=p(t)X(t)$ entonces, según el lema de Ito..: $$\begin{align} dV_t&=\frac{\partial p}{\partial t}X_tdt+p(t)\sigma X_tdW_t \\ &=\frac{1}{p(t)}\frac{\partial p}{\partial t}V_tdt+\sigma V_tdW_t \end{align}$$ La SDE que queda es bastante sencilla de resolver entonces con solución: $$V(t) = V(0)\exp \left \{ \left(\frac{1}{p(t)}\frac{\partial p}{\partial t} - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma W_t\right \}$$ Esto dará una respuesta diferente para $\mathbb{E}[p(t)X(t)]$ Así que me pregunto dónde está mi error.

Answer 1

Escribamos $p'(t)$ para $\frac{\partial p}{\partial t}$ . Entonces su última expresión para $V$ debería ser más bien $$V(t)=V(0)\exp\Bigg\{\int_0^t\frac{p'(s)}{p(s)}\,ds-\frac{\sigma^2}{2}\color{red}{t}+\sigma W_t\Bigg\}.$$ Esto da $$\begin{align} E[V(t)]&=V(0)\exp\Bigg\{\int_0^t\frac{p'(s)}{p(s)}\,ds\Bigg\}\\[3mm] &=V(0)\exp\Bigg\{\int_0^t\frac{d}{ds}\log p(s)\,ds\Bigg\}\\[3mm] &=V(0)\exp\{\log p(t)-\log p(0)\}\\[3mm] &=\frac{V(0)p(t)}{p(0)}=X(0)p(t) \end{align}$$ como debería.