Modelo Vasicek (estimación de parámetros)

Question

Tengo una pregunta sobre la "elección" de los parámetros del modelo Vasicek (fórmula siguiente).

Considérame un imbécil con un nivel inferior a la media en matemáticas jaja. Lo que he hecho es básicamente ejecutar el Vasicek en Excel y compararlo con la estructura temporal de los bonos. Luego usé el solucionador para que me diera los parámetros r, sigma, theta y kappa para minimizar el error al cuadrado entre mi Vasicek y los datos del mercado.

Obviamente es un resultado de cocina, me queda muy bien pero se pierde el sentido económico subyacente. Así que pensé en restringir sigma y theta en mi solucionador, pero ¿cómo debo elegir mis niveles de restricción?

Estaba pensando en comprobar la media o media móvil del tipo a corto plazo y su volatilidad a lo largo de unos años y establecerlos como límite.

No estoy buscando algo perfecto o complicado en absoluto, sólo quiero que mis parámetros tengan un poco más de sentido, ¿estoy en la dirección correcta?

Gracias

Answer 1

Su SDE puede discretizarse como $$\Delta r_t = \alpha + \beta r_t + \eta$$ donde $\alpha=\kappa\theta\Delta t, \beta = -\kappa\Delta t$ y $\eta\sim\mathrm N\left(0,\varsigma^2\right)$ con $\varsigma^2 = \sigma^2\Delta t$ . En principio, se podrían estimar estos parámetros a partir de los movimientos de los tipos de interés a corto plazo utilizando MCO.

Si sigue este camino, puede añadir estos términos a su función objetivo: obligar a que las estimaciones obtenidas al casar los precios no se alejen tanto de los valores históricos. Además, cada término de error podría multiplicarse por el error estadístico de $\hat\alpha,\hat\beta,\hat{\sigma^2}$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que, mientras que los parámetros utilizados para fijar el precio de los bonos corresponden al mundo neutral al riesgo, los parámetros que intervienen en la dinámica histórica corresponden a la medida física. En otras palabras, puede que tenga que considerar una prima de riesgo $\lambda$ lo que podría llevar, por ejemplo, a tener dos parámetros diferentes $\theta^\mathbb P$ y $\theta^\mathbb Q$ .

Answer 2

Una forma sencilla de proceder es cotejar los momentos empíricos y teóricos. Para empezar, si se aplica la aproximación de Euler-Maruyama, se obtiene \begin{align} r_{t+1} &\simeq r_t + \kappa \theta - \kappa r_t + \sigma \epsilon_t, \; \; \epsilon_t \sim N(0,1) \\ r_{t+1} &\simeq \kappa \theta + (1 - \kappa) r_t + \sigma \epsilon_t. \end{align} Se trata de un AR(1). Tiene tres parámetros, por lo que necesita al menos tres momentos. Si se limita a $|1 - \kappa| < 1$ entonces esto es covarianza estacionaria y usted podría usar (1) la expectativa, (2) la varianza y (3) la autocovarianza de primer orden. Apilarlos en un vector como una función de su parámetro y que coincida con su contraparte empírica. Minimiza una norma cuadrada y ya tienes el estimador GMM.

No es exactamente correcto porque la discretización está técnicamente justificada a medida que se reduce el tamaño del paso, pero es suficiente.