¿Cómo tiende la función de pérdida lineal-exponencial (Linex) hacia la función de pérdida cuadrática?

Question

Gracias a todos por vuestra ayuda, y pido disculpas de antemano si es una pregunta pésima o tonta.

Quiero saber más sobre la pérdida cuadrática y la pérdida lineal, así como sobre la optimización de las previsiones. En mi texto universitario, nos dijeron que la función de pérdida cuadrática es esencialmente el error cuadrático de la función de pérdida, o el cuadrado de la diferencia entre el valor real y el previsto, como se muestra a continuación:

Se nos dice entonces que la función de pérdida Lineal-exponencial es una función de pérdida asimétrica que tiende hacia la función de pérdida Cuadrática cuando a tiende hacia cero, como se muestra a continuación:

Mi pregunta es ¿cómo puede la función de pérdida Linex tender hacia la función de pérdida cuadrática cuando a tiende a cero? Puede que no tenga ni idea de matemáticas, pero no consigo demostrar que cuando a tiende a cero, la función Linex tiende a la función cuadrática.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Sólo necesita la expansión de la serie de potencias (Maclaurin): $e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$

Por ejemplo, la función Linex:

$L\left(y,\overset{\wedge}{y}\right)=\frac{2}{a^2}\left[e^{a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)}-a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)-1\right]$

y sustituir la serie de potencias por el término exponencial:

$L\left(y,\overset{\wedge}{y}\right)=\frac{2}{a^2}\left[1+a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)+\frac{a^2\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^2}{2!}+\frac{a^3\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^3}{3!}+\dots-a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)-1\right]$

Y luego simplificar:

$L\left(y,\overset{\wedge}{y}\right)=\frac{2}{a^2}\left[\frac{a^2\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^2}{2!}+\frac{a^3\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^3}{3!}+\dots\right]=\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^2 +\frac{2a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^3}{3!}+\dots$

Y entonces se ve fácilmente que el límite es la cuadrática:

$\lim_{a \to 0} L\left(y,\overset{\wedge}{y}\right)=\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^2$

Answer 2

Basta con aplicar dos veces la regla de L Hospital sobre la función de pérdida Linex para obtener el resultado deseado.