Especificación de root cuadrada de los parámetros en modelos factoriales

Question

La siguiente formulación procede de Vasicek y se refiere a la probabilidad cond. de pérdida de un préstamo (ecu. 3 en la referencia): $$p(Y)=\Phi\left(\frac{\Phi^{-1}(p)-\sqrt{\rho}\,Y}{\sqrt{1-\rho}}\right).$$

Vasicek también afirma que las variables de su fórmula perfilada del valor de los activos (ecuación 1 de la referencia) tienen una distribución normal estándar conjunta con correlaciones por pares iguales $\rho$ que conduce a:

$$ X_i=\sqrt{\rho}\,Y+\sqrt{1-\rho}\,Z_i,$$

con $Y$ un factor comúnn de cartera y $Z_i$ un factor específico de la empresa (ecu. 2 en la referencia).

También se utilizan especificaciones similares, por ejemplo, en relación con los activos ponderados por riesgo de la normativa de Basilea o en el contexto de las correlaciones de impago.

¿Por qué es habitual o preferible utilizar una especificación con root cuadrada respecto a los parámetros (por ejemplo, la correlación por pares) en los modelos factoriales? ¿Existe alguna ventaja específica en el uso de esta especificación?

Vasicek, O. A. (2002). The Distribution of Loan Portfolio Value, Risk 15(12), 160-162.

Answer 1

• La principal motivación para utilizar el marco monofactorial de Vasicek es que el modelo produce fórmulas analíticamente manejables que son fáciles de aplicar y no requieren extensas simulaciones numéricas. El modelo es capaz de reproducir el comportamiento cualitativo de las distribuciones empíricas de las pérdidas crediticias, es decir, las colas gruesas y la asimetría. [enlace] . Esto es especialmente cierto cuando tiene muchos nombres en su cartera que tienen una pequeña exposición y se supone que tienen una correlación por pares homogénea ( también llamada Aproximación de Grandes Carteras Homogéneas ).

• El modelo puede utilizarse siempre que se desee modelizar la distribución de las pérdidas crediticias en un marco relativamente sencillo. Puede considerarse como el "Equivalente de Black-Scholes" para carteras o cestas de créditos. En cuanto al marco de Basilea, el Comité argumenta en la el documento se encuentra aquí sobre el motivo de la elección del modelo monofactorial :

3. Exigencias reglamentarias al modelo de riesgo de crédito de Basilea:

[...] La especificación del modelo se sometió a una restricción importante para adaptarse a las necesidades de supervisión :

El modelo debe ser invariante de la cartera es decir, el capital necesario para un préstamo determinado debe depender únicamente del riesgo de ese préstamo y no debe depender de la cartera a la que se añada. Esta Esta característica se ha considerado esencial para que el nuevo marco IRB pueda aplicarse a un mayor número de países e instituciones. a una gama más amplia de países e instituciones.

4. Especificación del modelo:

[...] En el proceso de especificación del modelo de Basilea II, resultó que la invarianza de cartera del requisitos de capital es una propiedad que influye mucho en la estructura del modelo de cartera. modelo. Se puede demostrar que esencialmente sólo los llamados modelos de Factor de Riesgo Único Asintótico (ASRF) son invariantes de la cartera (Gordy, 2003) .

Puede seguir investigando (Gordy, 2003) si desea más detalles.

• Por último, la aproximación de la gran cartera homogénea también puede utilizarse para valorar tramos de CDO con la misma configuración ( _véase enlace para más detalles_ ).

Answer 2

¿Por qué hay una root cuadrada en la formulación del valor del activo? $ X_i $ dado el factor común $ Y $ y el componente idiosincrásico $ Z_i $ ¿Abajo?

$$ X_i=\sqrt{\rho}\,Y+\sqrt{1-\rho}\,Z_i,$$

Tal y como lo escribes, se deduce de la hipótesis de que todos los activos tienen correlaciones por pares iguales $ \rho\ $ entre sí y que todas las variables tienen varianza unitaria. Es bastante sencillo, probando con : $$ X_i=\beta\,Y+\gamma\,Z_i,$$ y utilizando la correlación supuesta : $$ \rho\ = cov(X_i, X_j)/\sqrt{Var(X_i)Var(X_j)}$$ utilizando además la independencia entre $ Z_i\ $ y $ Z_j $ y $ Y $ nos da : $$ \rho\ = \beta^2\ Var(Y) /\sqrt{Var(X_i)Var(X_j)} = \beta^2\ $$

Por lo tanto, root cuadrada en el primer término $ \beta\ = \sqrt{\rho} $ y tomando la varianza de $ X_i $ : $$ Var(X_i)= \beta^2 + \gamma^2 = 1 $$ ahora nos da root cuadrada en el segundo término $ \gamma\ = \sqrt{1-\rho} $

Answer 3

La pregunta no es específica de Vasicek, root cuadrada de la correlación que se ve en el documento es una fórmula estándar para generar VR correlacionados. Véase por ejemplo esta pregunta