Consideraciones sobre un modelo de saltos

Question

El problema:

Supongamos que tengo un modelo de salto simple para el precio de un activo

$$dS = S(t-)[\mu dt + YdN(t)]$$

donde $N(t)$ es un proceso de Poisson y $Y_i$ son los tamaños de los saltos (se supone la independencia de $N(t)$ y $Y_i$ ). Además, para simplificar, supongamos que $Y_i$ sólo puede tomar dos valores, digamos $a$ y $b$ . ¿Qué limitaciones existen para $\mu$ , $a$ y $b$ ?

También debo añadir que podemos suponer la existencia de una cuenta en el mercado monetario con un tipo a corto constante: $$B(t) = B_0e^{rt}$$

Mis pensamientos iniciales:

Para preservar la positividad de los precios de las acciones necesito tanto $a$ y $b$ sea mayor que $-1$ . También tengo que considerar cuándo puede haber arbitraje en mi modelo. Sin embargo, no sé qué restricciones adicionales debo imponer. ¿Alguien puede ayudarme?

Gracias de antemano por cualquier respuesta.

Answer 1

Tenga en cuenta que, $$\begin{align*} d\big( e^{-\mu t}S_t \big) &= -\mu e^{-\mu t}S_t dt + e^{-\mu t}S_{t-}(\mu dt + Y_t dN_t)\\ &=e^{-\mu t}S_{t-}Y_t dN_t. \end{align*}$$ De la fórmula exponencial de Doleans-Dade, $$\begin{align*} e^{-\mu t}S_t = \prod_{0<s\le t}(1+Y_s)\Delta N_s. \end{align*}$$ Eso es, $$\begin{align*} S_t = e^{\mu t} \prod_{0<s\le t}(1+Y_s)\Delta N_s. \end{align*}$$ Por lo tanto, tanto $a$ y $b$ son mayores que $-1$ .

Sea $\lambda$ sea la intensidad del proceso de Poisson $N$ . Además, para facilitar la exposición, supondremos que $E(Y_s)=L$ para $s\ge 0$ es una constante. Sea $$\begin{align*} M_t = N_t-\lambda t \end{align*}$$ et $$\begin{align*} X_t = \int_0^t Y_s dN_s -\lambda L t. \end{align*}$$ Entonces, $\{M_t, t \ge 0 \}$ es una martingala. Además, para $u\ge v \ge 0$ y el conjunto de información $\mathscr{F}_v$ a la vez $v$ , $$\begin{align*} E(X_u-X_v\mid \mathscr{F}_v) &= E\bigg(\int_v^u Y_s dN_s \mid \mathscr{F}_v\bigg) - \lambda L (u-v)\\ &= E\bigg(\int_v^u Y_s dM_s \mid \mathscr{F}_v\bigg) + \lambda E\bigg(\int_v^u Y_s ds \mid \mathscr{F}_v\bigg) - \lambda L (u-v)\\ &=0. \end{align*}$$ Eso es, $\{X_t, t \ge 0\}$ es una martingala.

Para descartar cualquier oportunidad de arbitraje, $e^{-rt}S_t$ tiene que ser una martingala. Obsérvese que $$\begin{align*} d\big( e^{-r t}S_t \big) &= -r e^{-r t}S_t dt + e^{-r t}S_{t-}(\mu dt + Y_t dN_t)\\ &= e^{-r t}S_{t-}\big((\mu-r+\lambda L)dt + dX_t \big). \end{align*}$$ Entonces, $\mu = r - \lambda L$ .