Dado $f(x_1,x_2) = \min\{x_1,x_2\}^\alpha$ hallar las demandas de factores, la función de oferta y la función de beneficios que maximizan los beneficios

Question

Dado

$$f(x_1,x_2) = \min\{x_1,x_2\}^\alpha$$

Tengo que encontrar las funciones de demanda que maximizan el beneficio, la función de oferta y la función de beneficio, pero no estoy seguro de cómo hacerlo cuando la función está dada tal cual.

Sé que, por ejemplo, tengo que utilizar Lagrange. Así

$$ L = p \cdot f(x_1,x_2) - w_1 \cdot x_1 - w_2 \cdot x_2 - \lambda \left(p_1x_1 + p_2x_2 - m \right) $$ y a continuación hallar las condiciones de primer orden. Pero cómo encuentro la derivada con respecto a ambas $x_1$ y $x_2$ cuando tengo una función como $f(x_1,x_2) = \min\{x_1,x_2\}^\alpha$ ?

¿Puede ayudarme en la dirección correcta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Obsérvese que si $x_1^{*} > x_2^{*}$ entonces $$\pi(x_1^{*}, x_2^{*}) = p {x_2^*}^{\alpha} - w_1x_1^{*} - w_2x_2^* < p {x_2^*}^{\alpha} - w_1x_2^{*} - w_2x_2^* = \pi(x_2^*, x_2^*)$$

Debido a la simetría, podemos concluir que el óptimo $x_1$ y $x_2$ serán iguales.

A partir de la función de beneficio $\pi(w_1, w_2) = \max_{x \geq 0} [px^\alpha - w_1x - w_2x]$ obtenemos

$$x_i^*(p,w_1, w_2) = \left(\frac{p \alpha}{w_1 + w_2}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}$$ para $i=1,2$

Calcule $\Pi^*(p,w_1,w_2)$ utilizando las demandas de factores que encontramos más arriba.

Answer 2

Dada la función de producción $f:\mathbb{R}^2_+\rightarrow\mathbb{R}$ definido como $f(x_1,x_2) = (\min(x_1,x_2))^\alpha$ donde $\alpha > 0$ podemos resolver el problema de maximización de beneficios de la empresa competitiva en dos pasos.

En el paso 1, resolvemos el problema de minimización de costes: \begin{eqnarray*}\min_{x_1\geq 0, x_2\geq 0} & w_1x_1+w_2x_2\\ \text{s.t. } & (\min(x_1,x_2))^\alpha \geq y\end{eqnarray*} donde $w_1 > 0, w_2 > 0$ y $y \geq 0$ .

Resolviendo el problema se obtienen demandas de entrada condicionales como: \begin{eqnarray*}(x_1^c,x_2^c)(w_1,w_2,y) = (y^{\frac{1}{\alpha}}, y^{\frac{1}{\alpha}})\end{eqnarray*}

y la función de coste es \begin{eqnarray*}c(w_1,w_2,y) = (w_1+w_2)y^{\frac{1}{\alpha}}\end{eqnarray*}

En el paso 2, resolveremos el problema de maximización de beneficios que es \begin{eqnarray*}\max_{y\geq 0} & \ py - (w_1+w_2)y^{\frac{1}{\alpha}}\end{eqnarray*} donde $p>0$ , $w_1>0$ y $w_2>0$

Aquí consideraremos tres casos para $\alpha$ :

• $0 < \alpha < 1$ (Caso de rendimientos decrecientes a escala): Resolviendo el problema de maximización de beneficios en este caso se obtendrá la función de oferta como: \begin{eqnarray*}y^s(w_1,w_2,p) = \left(\frac{\alpha p}{ w_1+w_2}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}\end{eqnarray*} y las demandas de entrada son \begin{eqnarray*}(x_1^d,x_2^d)(w_1,w_2,p) = \left(\left(\frac{\alpha p}{ w_1+w_2}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}, \left(\frac{\alpha p}{ w_1+w_2}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}\right)\end{eqnarray*} La función de beneficio es \begin{eqnarray*}\pi(w_1,w_2,p) = p\left(\frac{\alpha p}{ w_1+w_2}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}} - (w_1+w_2)\left(\frac{\alpha p}{ w_1+w_2}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}\end{eqnarray*}

• $\alpha = 1$ (Caso de rendimientos constantes a escala): En este caso, la oferta es \begin{eqnarray*}y^s(w_1,w_2,p) \in \begin{cases} \{0\} & \text{if } p < w_1+w_2 \\ \mathbb{R}_+ & \text{if } p = w_1+w_2 \\ \emptyset & \text{if } p > w_1+w_2 \end{cases} \end{eqnarray*} y las demandas de entrada son \begin{eqnarray*}(x_1^d,x_2^d)(w_1,w_2,p) = (x_1^c,x_2^c)(w_1,w_2,y^s(w_1,w_2,p))\end{eqnarray*} Aquí, la función de beneficio sólo se define para el caso en que $p\leq w_1+w_2$ y viene dado por \begin{eqnarray*}\pi(w_1,w_2,p) = 0\end{eqnarray*}

• $\alpha > 1$ (Caso de rendimientos crecientes a escala): En este caso no existe la solución al problema de maximización de beneficios, es decir, no hay oferta.