Cálculo de la varianza de una cartera larga/corta

Question

Supongamos que tengo una cartera de acciones, acción A, acción B y acción C, con las siguientes posiciones:

• acción A: largo 100 USD
• acción B: largo 50 USD
• acción C: corto 200 USD

¿Cómo calcular la varianza de la cartera a partir de la matriz de covarianzas?

Supongo que esta pregunta se reduce a: ¿cómo obtengo los pesos de cada acción?

Si divido el valor de cada posición por el valor neto de la cartera (-50 USD) para que las ponderaciones sumen 1, obtengo [-2, -1, 4], lo que no tiene sentido, ya que ahora tengo ponderaciones negativas para las posiciones largas y positivas para las cortas.

Si introduzco un 4º activo, un componente de efectivo sin riesgo, del que estoy largo 51 USD entonces tengo ponderaciones [100, 50, -200, 51]. Estupendo, las ponderaciones suman 1 y tienen el signo correcto, sin embargo [10, 5, -20, 6] sería un vector de ponderaciones igualmente válido pero daría una varianza completamente diferente al multiplicarlo por la matriz de covarianzas.

Entonces, ¿cuál es la forma correcta de obtener las ponderaciones de cada activo de esta cartera y, por tanto, cuál es la forma correcta de calcular la varianza de la cartera?

Answer 1

Creo que en realidad estás preguntando cómo normalizar los pesos. Por ejemplo,

$$ \begin{align} w_\textrm{usd} &= \begin{bmatrix} 100 \\ 50\\ -200\\ 51 \end{bmatrix},\\ &~\\ w^\prime &= \frac{w}{\sqrt{w^\textrm{T} w}} \quad \textrm{provides a unit length weight vector}, \\ &~\\ w^{\prime\prime} &= \frac{w}{\sum\limits_i |w_i|} \quad \textrm{provides another weight vector}. \end{align} $$ La elección "correcta" depende del uso que vaya a hacer de las pesas.

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Para cualquier conjunto de ponderaciones de cartera (en unidades de medida coherentes, por ejemplo USD), el cálculo de la varianza es sencillo. En su ejemplo, la volatilidad en USD de su cartera es:

$$ \begin{align} \hat{\sigma}_\textrm{usd}^2 &= w_\textrm{usd}^\textrm{T} \hat\Sigma w_\textrm{usd} \quad \textrm{estimated portfolio variance in USD}, \textrm{or}\\ &~\\ \hat{\sigma}_\textrm{usd} &= \sqrt{\hat{\sigma}_\textrm{usd}^2} \quad \textrm{estimated portfolio standard deviation in USD.}\end{align} $$

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vector de ponderaciones igualmente válido pero daría una varianza completamente diferente

No. No es la misma cartera. Es probable que la respuesta sea diferente, a menos que enumere dos carteras distintas con el mismo riesgo estimado, definido por su matriz de varianza estimada. $\hat{\Sigma}$ . Ni siquiera se trata de un cambio de unidades, por ejemplo, de una moneda a otra, o de una normalización como la mostrada anteriormente. $$ \begin{bmatrix} 10 \\ 5\\ -20\\ 6 \end{bmatrix}\neq \alpha \begin{bmatrix} 100 \\ 50\\ -200\\ 51 \end{bmatrix} $$