Realizando el mismo PnL que Gamma Vs Vega

Question

Considere una posición de opción con cobertura delta. Supongamos además que puedo prever perfectamente la volatilidad realizada a lo largo de la vida de la opción.

Vol al que compro la opción = Vol implícito (IV)

Volatilidad realizada durante la vida de la opción = Vol Realizada (RV) Además, supongamos que RV > IV

Ahora, hay 2 maneras en las que puedo monetizar RV siendo mayor que IV.

Método 1-> Observo el vol de la opción a RV (realizar el pnl como vega PnL hoy).

Entonces, dado que estoy cubriendo la opción utilizando la volatilidad realizada correcta, mi pnl de cobertura delta acumulada al vencimiento será conocida, y debería compensar perfectamente mi theta.

En este caso, PnL realizado = Vega x (RV-IV)

Este pnl será un función lineal de RV.

Método 2-> No remarco mi vol, y delta hedge la opción usando el IV como el vol marcado.

En este caso, por supuesto, mi pnl dependerá del camino, pero el pnl esperado sería =

0,5 x $Gamma x (RV-IV)

La gamma PnL, por supuesto, es una función cuadrática de RV.

Mis preguntas son ->

a. ¿ Es el pnl en el método 1 = PnL esperado en el método 2 ?

b. En caso afirmativo, ¿cómo es que el PnL del método 1 es una función lineal de RV, mientras que el PnL del método 2 es una función cuadrática de RV?

Desarrollando la pregunta b->

Una heurística común parece ser.

Pago 100 céntimos por un swaption con IV=2bp/día

Si el vol realizado = 2,1 pb/día, PnL total = 10c

Si el vol realizado = 2,2 pb/día, el PnL total = 30c

Así que no es una función lineal del vol realizado. Pero si remarco a RV y realizo el PnL como un vega pnl, el pnl será una función lineal de RV (ya que un atm straddle es una función lineal de la volatilidad).

Answer 1

Es bien sabido que en el modelo Black Scholes con vol implícito $s$ y vol realizado $\sigma$ el PnL de la cobertura delta de una posición larga en una opción es

$$\tag{1} C(T,S_T)-\Pi_T=\frac{\sigma^2-s^2}{2}\int_0^TS_t^2\partial_x^2C(t,S_t)\,dt\,. $$ (véase esta entrada ). La fórmula que se utiliza en el método 2 es similar pero no exactamente igual a ésta. El precio de la opción $C(t,S_t)$ en (1) utiliza vol $s$ por todas partes. Si he entendido bien el método 1 se utiliza el vol realizado $\sigma$ para calcular $C(t,S_t)$ y por lo demás realizar la misma estrategia de cobertura. Esto significa que en la derivación que condujo a (1) tenemos $\sigma=s$ y por lo tanto cero cobertura PnL. Esto también es intuitivamente claro porque conocer el vol realizado $\sigma$ de antemano y utilizarlo para fijar el precio y la cobertura de la opción reproducirá exactamente la retribución final $C(T,S_T)\,.$ No creo que la expectativa de (1) sea cero. De hecho se sabe que si el vol realizado $\sigma$ es mayor que el vol $s$ casi siempre hay un beneficio de la estrategia de cobertura delta de una posición gamma larga.

En el modelo Black Scholes con rentabilidad por dividendo continua $q$ lo siguiente fórmulas de compra y venta: \begin{align} \text{ gamma }\quad&\partial_x^2C(t,S_t)=e^{-q(T-t)}\frac{\phi(d_1)}{S_t\sigma\sqrt{T-t}}\,,\\[3mm] \text{ vega }\quad&\partial_\sigma C(t,S_t)=S_te^{-q(T-t)}\phi(d_1)\sqrt{T-t}\,. \end{align}

• Porque $d_1=\pm\frac{\ln(S_t/K)+\sigma^2(T-t)/2}{\sigma\sqrt{T-t}}$ la vega depende de forma no lineal de vol. Por lo tanto, incluso el simplista PnL $\text{vega}\cdot (\sigma-s)$ depende de forma no lineal de $\sigma\,.$

• Existe una relación simple $S^2_t\partial_x^2C(t,S_t)\sigma(T-t)=\partial_\sigma C(t,S_t)$ entre gamma y vega. Por lo tanto, podemos escribir (1) como $$\tag{2} C(T,S_T)-\Pi_T=\frac{\sigma^2-s^2}{2}\int_0^T \frac{\partial_\sigma C(t,S_t)}{\sigma(T-t)}\,dt\,. $$ que es similar pero no exactamente igual a su método 1.