Cambio de numerario a la medida de avance en el modelo Vasicek

Question

Estoy leyendo el libro de Brigo/Mercurio sobre modelos de tipos de interés (segunda edición) y tengo problemas con el cambio de numerario en el capítulo 3.2.1, página 59 para ser exactos, fórmula 3.9. Se trata del modelo de Vasicek con un modelo dinámico. Se trata del modelo Vasicek con dinámica $dr(t) = k[\theta -r(t)]dt + \sigma dW(t)$ y $P(t,T) = A(t,T) exp(-B(t,T)r(t))$ .

Escriben que utilizando el conjunto de herramientas de cambio de numerario y la fórmula 2.12 en particular con $S_t = B(t)$ el numerario de la cuenta bancaria, $U_t = P(t,T)$ el numerario T-forward y $X_t=r_t$ puede obtener $$ dr(t) = [k\theta-B(t,T)\sigma^2 -kr(t)]dt + \sigma dW^T(t) $$ con $dW^T(t) = dW(t)+\sigma B(t,T)dt$ . Puedo ver cómo enchufar el $Q^T$ -El movimiento browniano hacia la nueva dinámica devuelve la dinámica original. Sin embargo, no puedo averiguar cómo obtener la nueva dinámica a través de la fórmula 2.12, específicamente cómo $$B(t,T)\sigma=\rho \left(\frac{\sigma_t^S}{S_t} - \frac{\sigma_t^U}{U_t}\right)$$ ¿Puede alguien ayudarme o facilitarme un enlace a una explicación más detallada?

Answer 1

Supongamos que se trabaja con un movimiento browniano unidimensional, la matriz de correlación instantánea $\rho$ baja a 1. $C$ y $C'$ ambos son 1.

Ahora, refiriéndonos a la Proposición 2.3.1, en particular con $S_t = B(t)$ y $U_t = P(t,T)$ se pueden escribir los dos procesos como:

$dB(t) = (...)dt$

$dP(t,T) = (...)dt - \sigma B(t,T)P(t,T)dW_t^{T}$ ,

Obsérvese que no hay coeficiente de volatilidad en la primera ecuación, por lo que $\sigma_t^B=0$ . Tenga en cuenta también que el $B(t,T)$ en la segunda ecuación no es el numerario de la cuenta bancaria, sino el $B$ función en el libro de Brigo.

Ahora, la deriva en $\mathbb{Q}^T$ denotado por $\mu_t^{P}$ mediante la ecuación (2.12):

$\mu_t^{P}(r(t))=\mu_t^{B}(r(t))-\sigma\left(\frac{0}{B(t)}-\frac{\sigma B(t,T)P(t,T)}{P(t,T)}\right) = \mu_t^{B}(r(t))+\sigma^2B(t,T)$

Por lo tanto, la deriva adicional debida al cambio de medida es $\sigma^2B(t,T)$ y entonces se tiene la ecuación (3.9).

Aplicando la misma lógica a la ecuación (2.13) obtendrás:

$dW^T(t)=dW(t)+\sigma B(t,T)dt$

Espero que esto ayude.