Argumentos a favor de la concavidad o la cuasiconcavidad

Question

Me encuentro con preguntas que quieren que demuestre que una función de utilidad o de producción es cóncava o, si no, cuasicóncava, de modo que podamos aplicar las condiciones de KKT.

Por ejemplo, la función de producción $w(x,y) = x^{1-a}y^a$ más la condición $0 < a < 1$

La respuesta demuestra que es cóncava mostrando que la matriz hessiana es NSD. Esto requiere un poco de álgebra molesto, sería los siguientes enfoques más simples también son válidos:

1. Propiedades conocidas de las funciones Cobb-Douglas:

• Observando que $1-a = b > 0$ y por lo tanto tenemos una función de producción Cobb-Douglas con CRS. Por lo tanto, ¿es cóncava?

2. Demostración de la cuasiconcavidad - mediante conjuntos convexos de contorno superior:

• $y = \frac{w^{\frac{1}{a}}}{x^{\frac{1-a}{a}}}$ que es decreciente en $x$ y tiene una primera derivada negativa y una segunda derivada positiva, por lo que es convexa. Por lo tanto, ¿los conjuntos de contorno superior son convexos?

3. Me interesa especialmente mi argumento anterior del conjunto de contornos superiores. Por favor, hágamelo saber si puede ser más preciso o mejor. En una pregunta similar se decía que para la función $f(x,y) = 3xy$ " El maximando es diferenciable y cuasicóncavo, como puede verse al observar que los conjuntos de contorno superior son convexos. "

• Esta fue la única explicación proporcionada. Supongo que esto se debe al argumento que he expuesto, por ejemplo $y = \frac{f}{3x}$ para cualquier $f$ ¿tiene una primera derivada negativa y una segunda derivada positiva y, por tanto, es convexa?

4. ¿Puedo utilizar el siguiente teorema para demostrar la concavidad, a partir de DRS o CRS.

Si la función de producción $f(K,L)$ tiene $f(0,0) = 0$ y es cóncava, entonces tiene rendimientos decrecientes o constantes a escala .

¿Esto también nos dice que si la función de producción tiene DRS o CRS, y tiene $f(0,0) = 0$ Entonces, ¿es cóncava?

• Por ejemplo, nuestra primera función $w(x,y) = x^{1-a}y^a$

Answer 1

Intentaré responder a sus preguntas en el orden en que las ha formulado, proporcionándole las definiciones y procedimientos necesarios para encontrar las respuestas que busca.

1. El primer planteamiento es válido y es cierto que una función cobb-douglas homogénea de grado 1 es efectivamente cóncava y, por tanto, cuasicóncava. Esto se deduce del siguiente teorema:

$f_1$ es una función de valor real no negativa y no decreciente definida en $\mathbb{R}_+^n$ y $f_1$ es cuasicóncava y homogénea de grado 1. Entonces $f_1$ es una función cóncava. $^1$

2. En efecto, se dice que una función es cuasicóncava si todos sus conjuntos de contorno superior son conjuntos convexos. Pero tu procedimiento no muestra eso, sino que muestra que las curvas de nivel son convexas (Hay una diferencia entre la convexidad de una función y los conjuntos convexos) .

   Intentaré aclarar tu confusión proporcionando primero una definición de conjuntos convexos y luego proporcionando una definición precisa de cuasiconcavidad mediante la cual puedas demostrar que $w:\mathbb{R}_+^n\to \mathbb{R}$ definido como $w(x,y)=x^ay^{1-a}$ es casi cóncava. Sin embargo, es útil conocer la implicación $\textbf{concavity} \implies \textbf{quasi-concavity}$ para que no tengas que comprobar la cuasiconcavidad por separado si sabes que la función es realmente cóncava.

un conjunto $S$ se dice que es un conjunto convexo si para cualquier $x', x'' \in S$ tenemos $\lambda x'+(1-\lambda)x''\in S \quad \forall \; \lambda \in [0,1]$

una función $f_2:A\to \mathbb{R}$ definido en el conjunto convexo $A\subset \mathbb{R}^n$ . Entonces $f_2$ se dice cuasicóncavo si todo conjunto de contorno superior de $f_2$ es convexa, es decir, $S(\alpha)=\{x\in S \mid f_2(x)\geq\alpha\}$ es un conjunto convexo $\forall \; \alpha\in\mathbb{R}$

3. La función $f: \mathbb{R}_+^2\to \mathbb{R}$ definido como $f(x,y)=3xy$ es cuasicóncava pero no cóncava. En primer lugar, permítanme utilizar la definición proporcionada anteriormente para demostrar que es cuasi-cóncava.

   a) Para probar: $f: \mathbb{R}_+^2\to \mathbb{R}$ definido como $f(x,y)=3xy$ es cuasicóncava
   $\bullet$ tenemos que demostrar que $S(\alpha)=\{(x,y)\in \mathbb{R}_+^2 \mid 3xy\geq \alpha \}$ es un conjunto convexo para todo $\alpha \in \mathbb{R}$

   $\bullet$ elegir arbitraria $(x',y'), (x'',y'') \in S(\alpha)$ y arbitraria $\lambda \in [0,1]$ $\bullet \begin{align} \\ & (x',y') \in S(\alpha) \implies 3x'y'\geq \alpha \implies x'y' \geq \frac{\alpha}{3} & (1)\\ & (x'',y'') \in S(\alpha) \implies 3x''y'' \geq \alpha \implies x''y''\geq \frac{\alpha}{3} &(2) \end{align}$

   $\bullet$ considere, $(x''',y''')=\lambda (x',y')+(1-\lambda)(x'',y'')$

   $\begin{align} x'''y'''& =\lambda^2x'y'+(1-\lambda)^2x''y''+\lambda(1-\lambda)(x''y'+x'y'')\\ &\geq \frac{\lambda^2\alpha}{3}+ \frac{(1-\lambda)^2\alpha}{3}+\frac{2\lambda(1-\lambda)\alpha}{3}=\frac{\alpha}{3} & [\text{from } (1) \; \& \;(2)] \\ \end{align}$ $\therefore \quad x'''y''' \geq \frac{\alpha}{3}\implies (x''',y''')\in S(\alpha)$

   $\bullet$ Por lo tanto, hemos demostrado que $S(\alpha)$ es convexo $\forall \; \alpha \in \mathbb{R}$ es decir, $f$ es cuasicóncava

   b) Demostrar que $f$ no es cóncava definamos primero la concavidad

   deje $f_3:A\to \mathbb{R}$ sea una función definida sobre un conjunto convexo $A\subset \mathbb{R}^n$ . Decimos que $f_3$ es cóncava si $f_3(\lambda x' +(1-\lambda) x'')\geq \lambda f_3(x') + (1-\lambda)f_3(x'') \quad \forall \; x',x''\in A$ y $\forall \;\lambda \in [0,1]$

   ya que la definición anterior es válida para todo $x', x'' \in A$ y para todos $\lambda \in [0,1]$ si podemos demostrar que existe al menos una tal $x', x'' \in A$ y $\lambda \in [0,1]$ para la que no se cumple lo anterior, entonces podemos decir que $f_3$ no es cóncava

   elija $(x',y')=(0,0), \;(x'',y'')=(1,1)$ y $\lambda =\frac{1}{2}$ .
   $\therefore \quad f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{3}{4}<\frac{1}{2}f(0,0)+\frac{1}{2}f(1,1)=\frac{3}{2}$
   Así, hemos demostrado $f$ es cuasicóncava pero no cóncava.

4. Si le he entendido bien, creo que lo que pregunta es si la siguiente implicación es cierta o no:

   Si una función de producción $F:\mathbb{R}_+^2\to \mathbb{R}$ es homogénea de grado menor o igual a 1 y satisface $F(0,0)=0$ entonces $F$ es cóncava.

   Lo anterior no es cierto en general. Por ejemplo, tomemos $F(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ Esta función presenta rendimientos constantes a escala (es decir, homogénea de grado 1) y satisface $F(0,0)=0$ , pero se puede comprobar que la función no es cóncava (del mismo modo que hicimos en 3.b)). De hecho, esta función es convexa.

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Referencia de las definiciones y teoremas utilizados en la respuesta anterior (incluida la demostración de $^1$ ): https://www.youtube.com/playlist?list=PLUJGfL_499TLYEd-9IO1DmQKwm6Mtdt4u