prueba de la unicidad del equilibrio de estrategia dominante

Question

Este ejercicio está sacado del libro Steve Tadelis, Introducción a la teoría de juegos, capítulo 4 ejercicios.

Demuéstralo: Si el juego $\Gamma= \{N,\{S_i\}^n_{i=1},\{v\}^n_{i=1}\}$ tiene un equilibrio de estrategia estrictamente dominante $s^D$ entonces $s^D$ es el único equilibrio de estrategia dominante.

Mi intento:

Prueba por contradicción: Supongamos $s^D$ no eran el único DSE. Entonces $\exists s'^D\in S'^D$ tal que $v(s'_i,s'_{-i})\geq v(s_i,s_{-i})$ donde $s'_i,s'_{-i}\in S^D$ y $s_is_{-i}\in S^d$ . Pero esto contradice la suposición de que $s^D$ es el DSE.

¿Sería esto correcto?

Answer 1

Vas por buen camino, pero cometes ciertos errores en tus pruebas,

1. Tu notación es confusa. No has definido lo que $S^{'D}$ es. Yo sugeriría ceñirse al espacio estratégico definido y no crear notación innecesaria en la prueba.

2. Cuando escriba $v(s'_{i},s'_{-i}) \geq v(s_{i},s_{-i})$ no sólo cambias la estrategia del jugador i, sino también la de los demás jugadores. Sin embargo, hay que mantener constantes las estrategias de los demás jugadores y luego comparar las opciones del jugador i para elegir la mejor estrategia. Además, hay que tener en cuenta qué función de pago del jugador se está comparando. Por lo tanto, debe escribir $v_{i}(s'_{i},s'_{-i}) \geq v_{i}(s_{i},s'_{-i})$ .

Pasemos ahora a cómo podría ser una prueba por contradicción.

1. Supongamos que existe otro equilibrio de estrategia dominante, $s^{A} \in S$ . (Nótese que aquí hablamos de equilibrios de estrategia tanto débil como estrictamente dominantes)

2. Esto significa que $\exists i \in n$ tal que $s^{A}_{i} \neq s^{D}_{i}$ y $v_{i}(s^{A}_{i}, s^{A}_{-i}) \geq v_{i}(s^{D}_{i}, s^{A}_{-i})$ .

3. Sin embargo, $s^{D}$ es un equilibrio de estrategia estrictamente dominante, y así, $s^{D}_{i}$ es una estrategia estrictamente dominante para el jugador i. Entre otras cosas, esto implica que $v_{i}(s^{D}_{i}, s^{A}_{-i}) > v_{i}(s^{A}_{i}, s^{A}_{-i})$ .

4. Las desigualdades de (2) y (3) se contradicen. Por lo tanto, el equilibrio de estrategia estrictamente dominante debe ser único.