Creo que tus derivaciones son correctas. La forma en que yo veo esos problemas, es pensando en el numerario como un activo de descuento. Entonces se puede aplicar un cambio de medida muy fácilmente. De esta manera, usted no tiene que comparar $X(t)$ y $\frac{1}{X(t)}$ entre sí con arreglo a las distintas medidas. Para el mercado de divisas esto puede no ser un problema, pero para las comillas bursátiles la interpetación recíproca puede resultar difícil.
Sea $B_{\text{EUR}}(t)$ sea el proceso de valor de una inversión sin riesgo en la divisa EUR (por ejemplo, una cuenta bancaria en euros), y sea $B_{\text{USD}}(t)$ sea el proceso que rige el valor de una inversión sin riesgo en USD. Sea $X(t)$ sea el proceso que rige los tipos de cambio al contado. Además, dejemos que $\mathbb{Q}_{\text{EUR}}$ sea la medida neutral de riesgo bajo la inversión EUR sin riesgo, tal que el activo $X(t)$ descontado por la inversión sin riesgo $B_{\text{EUR}}(t)$ es una martingala (me salto todo lo de la existencia y tal). Por otro lado, dejemos que $\mathbb{Q}_{\text{USD}}$ sea la medida neutral de riesgo con respecto a la inversión sin riesgo $B_{\text{USD}}(t)$ . Definir la relación $$ \dfrac{\text{d}\mathbb{Q}_{\text{USD}}}{\text{d}\mathbb{Q}_{\text{EUR}}} = \dfrac{B_{\text{USD}}(T) B_\text{EUR}(t)}{B_{\text{USD}}(t)B_\text{EUR}(T)}, $$ para $t < T$ .
Sea $\mathcal{F}_t$ sea la información del proceso $X(t)$ hasta el momento $t$ . Reescribir la expectativa condicional \begin{align} B_\text{EUR}(t) \mathbb{E}^{\mathbb{Q}_\text{EUR}}\left(\left.\dfrac{X(T)}{B_\text{EUR}(T)} \right| \mathcal{F}_t\right) & = B_\text{EUR}(t) \int_{\mathbb{R}} \dfrac{X(T)}{B_\text{EUR}(T)} \text{d}\mathbb{Q}_\text{EUR} \\ & = B_\text{EUR}(t) \int_{\mathbb{R}} \dfrac{X(T)}{B_\text{EUR}(T)} \dfrac{B_{\text{USD}}(t)B_\text{EUR}(T)}{B_{\text{USD}}(T) B_\text{EUR}(t)} \text{d}\mathbb{Q}_{\text{USD}} \\ & = \int_{\mathbb{R}} X(T) \dfrac{B_{\text{USD}}(t)}{B_{\text{USD}}(T)}\text{d}\mathbb{Q}_{\text{USD}} \\ & = B_{\text{USD}}(t) \mathbb{E}^{\mathbb{Q}_\text{USD}}\left(\left. \dfrac{X(T)}{B_\text{USD}(T)}\right| \mathcal{F}_t\right) \end{align} Nótese que el proceso descontado bajo la nueva medida necesita ser una martingala bajo esa nueva medida, ya que todos los activos descontados bajo la nueva medida necesitan ser martingalas bajo la nueva medida. De este modo, la dinámica del activo $X(t)$ con la nueva medida.
Este planteamiento también puede ayudarle a encontrar precios rebajados con arreglo a otras medidas, como el $T$ -medida anticipada. En $T$ -se suele utilizar cuando se supone que el tipo de interés es estocástico. El activo de descuento, o numeraire, en virtud de la $T$ -La medida a plazo es el bono cupón cero.
Observación:
$\dfrac{\text{d}\mathbb{Q}_{\text{USD}}}{\text{d}\mathbb{Q}_{\text{EUR}}}$ se llama la derivada de Radon-Nikodym, no soy un experto en ese concepto teórico de medida, sin embargo, puedes encontrar mucha información al respecto buscando en Google sobre el tema. Para este post, se puede dar por sentado. Encontrar la derivada de Radon-Nikodym correspondiente al cambio de medida que quieres aplicar es construirla de tal manera que los términos de descuento de la medida antigua se cancelen.
Espero que le resulte útil.
