Puede empezar simplemente con la definición de rendimiento bruto \begin{align*} R_{t+1}&=\frac{D_{t+1}+P_{t+1}}{P_t} \\ &=\frac{1+P_{t+1}/D_{t+1}}{P_t/D_t}\frac{D_{t+1}}{D_t}, \end{align*} donde la primera fracción contiene ahora su relación precio-dividendo. Pasando a log-returns, \begin{align*} r_{t+1} &= \ln\left(1+\frac{P_{t+1}}{D_{t+1}}\right) - \ln\left(\frac{P_t}{D_t}\right)+\ln\left(\frac{D_{t+1}}{D_t}\right) \\ &= \ln\left(1+e^{\mathfrak{d}_{t+1}}\right)-\mathfrak{d}_t+\Delta d_{t+1}, \end{align*} donde $\mathfrak{d}_t=\ln\left(\frac{P_t}{D_t}\right)$ es el coeficiente de dividendos log-precio y $\Delta d_{t+1}$ el crecimiento logarítmico de los dividendos.
Ahora, puedes usar el teorema de Taylor $$\ln(1+e^x)\approx\ln(1+e^{x_0})+\frac{e^{x_0}}{1+e^{x_0}}(x-x_0).$$ Normalmente elegimos la relación log-precio-dividendo a largo plazo, $\bar{\mathfrak{d}}=\ln(\bar{\mathfrak{D}})$ como punto $x_0$ . Entonces,
\begin{align*} r_{t+1} &\approx \ln(1+\bar{\mathfrak{D}})+\frac{\bar{\mathfrak{D}}}{1+\bar{\mathfrak{D}}}(\mathfrak{d}_{t+1}-\bar{\mathfrak{d}}) -\mathfrak{d}_t+\Delta d_{t+1} \\ &= k+\rho \mathfrak{d}_{t+1}-\mathfrak{d}_t+\Delta d_{t+1}, \end{align*} donde $k,\rho$ son constantes.
Como ves, la rentabilidad de tu próximo periodo es alta si
- precios actuales son bajos (y, por tanto $\mathfrak{d}_t$ es bajo).
- los precios mañana son altos (y por tanto $\mathfrak{d}_{t+1}$ es grande).
- crecimiento de los dividendos ( $\Delta d_{t+1}$ ) es alta.
Todo esto tiene un sentido intuitivo.
Por supuesto, se puede aplicar iterativamente la relación anterior para obtener la descomposición en componente de flujo de caja y componente de tipo de descuento. Esto también tiene enormes implicaciones para la literatura sobre la previsibilidad de la rentabilidad (los movimientos en la relación precio-dividendo implican que o bien las futuras tasas de crecimiento de los dividendos o rendimientos futuros o ambos son (parcialmente) predecibles).
Para guiarse con las ecuaciones anteriores, $\rho\approx0.96$ y $\bar{\mathfrak{D}}\approx25$ (4% relación precio dividendo) me parecen buenas conjeturas.
Obsérvese que todas estas relaciones se derivan directamente de la definición de los rendimientos y no dependen de ninguna hipótesis del modelo.
La log-linealización se utiliza con frecuencia para resolver todo tipo de modelos de fijación de precios de activos (por ejemplo, modelos de riesgo a largo plazo). Sin embargo, hay que tener cuidado. La aproximación de Taylor es solo una aproximación de orden uno. Pohl, Schmedders y Wilms (2018, JF) muestran que la log-linealización puede producir equivocado porque no se tienen en cuenta los términos de orden superior.
