Quanto opciones, doméstico = subyacente

Question

¿Cómo debe cotizar la opción Quanto, donde doméstico = subyacente?

Ejemplo: Supongamos que quiero valorar la opción Quanto en EUR sobre el par EUR/USD, pero la opción se liquida en EUR.

¿Debo utilizar la fórmula normal de la opción Quanto con $-1$ ¿correlación e igual sigma? (Debido a que el USD/EUR es $-1$ correlacionado con el EUR/USD)

Answer 1

Supongo que con el par EUR/USD se refiere al tipo de cambio $X$ que es el precio de un EUR en USD. Sabemos que el modelo Black-Scholes sin arbitraje para una opción sobre esto se modela mediante el GBM $$\tag{1} X_t=X_0\exp\Big(r_{USD}\,t-r_{EUR}\,t+\sigma\, W_t-\frac{\sigma^2\,t}{2}\Big)\,. $$ En non quanto el pago de una llamada es $$\tag{2} \operatorname{PlainVanilla}=\max(X_t-K,0)\,,\quad\quad\text{ in USD} $$ y el precio Black-Scholes es -como sabemos- $$\tag{3} V_{\operatorname{PlainVanilla}}=X_0e^{-r_{EUR}\,t}\,\Phi(d_1)-e^{-r_{USD}\,t}\,K\Phi(d_2) \,,\quad\quad\text{ in USD} $$ donde $$\tag{4} d_1=\frac{\log(X_0/K)+r_{USD}\,t-r_{EUR}\,t+\sigma^2\,t/2}{\sigma\sqrt{t}}\,,\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt{t}\,. $$ Si liquida el pago (2) en EUR en lugar de USD, se convierte en un quanto y el precio en USD pasa a ser \begin{align}\tag{5} &e^{-r_{USD}\,t}\,\mathbb E_{\mathbb P}\Big[X_t\max(X_t-K,0)\Big]= X_0e^{-r_{EUR}\,t}\,\mathbb E_{\mathbb P}\Big[e^{\sigma W_t-\sigma^2 t/2}\max(X_t-K,0)\Big]\,. \end{align} Por el teorema de Girsanov $\widetilde{W}_t=W_t-\sigma\,t$ es un movimiento browniano bajo la nueva medida $\mathbb Q$ que tiene densidad Radon-Nikodym $$\tag{6} \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}=e^{\sigma W_t-\sigma^2 t/2}\,. $$ Por lo tanto, (5) se convierte en $$\tag{7} X_0e^{-r_{EUR}\,t}\,\mathbb E_{\mathbb Q}\Big[\max(\widetilde{X}_t-K,0)\Big] $$ donde $$\tag{8} \widetilde{X}_t=X_0\exp\Big(r_{USD}\,t-r_{EUR}\,t+\sigma\, \widetilde{W}_t\color{red}{+\sigma^2\,t}-\frac{\sigma^2\,t}{2}\Big)\,. $$ Esto conduce al precio de compra $$\tag{9}\boxed{\quad V_{Quanto}=X_0^2\,e^{-r_{EUR}\,t\color{red}{\,+\,\sigma^2\,t}}\,\Phi(d_3)-e^{-r_{USD}\,t}\,K\,X_0\,\Phi(d_4)\quad} $$ donde $$\tag{10} d_3=\frac{\log(X_0/K)+r_{USD}\,t-r_{EUR}\,t\color{red}{+\sigma^2\,t}+\sigma^2\,t/2}{\sigma\sqrt{t}}\,,\quad d_4=d_3-\sigma\sqrt{t}\,. $$

• Tenga en cuenta que los nuevos términos $\color{red}{+\sigma^2\,t}$ tener un enorme impacto en la vega de esa opción quanto.

Answer 2

Fijación del precio de una opción Vanilla sobre divisas Creo que este post puede ayudarte. Usted no necesita entender cómo funciona la calculadora Bloomberg. Sólo mirarlo como información para la fijación de precios de opciones. Edita. Si vas a abrir este post, se puede ver que el principal problema de este post es cómo opción de precio en USDCAD liquidados en USD. También cito E. Reiner "Mecánica Quanto":
"En un mercado mundial de renta variable es posible vincular las exposiciones a acciones y divisas extranjeras Los inversores pueden optar por combinar sus inversiones en renta variable extranjera con distintos grados de protección frente a movimientos adversos de los tipos de cambio, los precios de las acciones o una combinación de ambos. A continuación se exponen cuatro escenarios, por orden creciente de complejidad, y las compensaciones correspondientes:

1. Un inversor desea participar en las ganancias de una acción extranjera, desea protegerse contra las pérdidas de esa acción, pero no le preocupa el riesgo de conversión derivado de una posible caída del tipo de cambio. Este inversor podría desear el pago de una opción de compra de acciones extranjeras en divisas: $C_1 = X^* \max[S'^* - K', 0]$ , donde $S'^*$ es el precio de la acción en su propia moneda después del tiempo $t$ y $K'$ es un importe en moneda extranjera. En esta fórmula, $X^*$ aparece delante de la función máxima, lo que indica que el pago final debe convertirse a moneda nacional.
2. Un inversor desea recibir cualquier rendimiento positivo del mercado extranjero, pero quiere estar seguro de que esos rendimientos son significativos cuando se convierten de nuevo a su propia moneda. Para él, lo importante es el producto del precio del activo extranjero y el tipo de cambio al vencimiento, y podría estar interesado en un rendimiento como el de una opción de compra de acciones extranjeras en moneda nacional: $C_2^* = \max[S'^*X^* - K, 0]$ donde K es ahora un importe en moneda nacional y X* multiplica sólo a S'*, que representa la conversión del valor del capital extranjero en términos nacionales... Y etc... "

Fíjate en el primer punto. Es tu caso: $C = USDEUR\cdot \max[EURUSD - K]$ . Y también discutió en Fijación del precio de una opción Vanilla sobre divisas en la última respuesta de jherek. O me equivoco o nadie leyó más allá del nombre.