La cantidad que se intenta obtener es el precio en el momento 0 de un bono cupón cero impagable que paga 1 si el impago se produce antes del plazo de vencimiento T (es decir, τ<T), y 0 en caso contrario.
Esto es un poco complicado, pero la clave aquí es entender que podemos representar este precio como una integral sobre los posibles tiempos por defecto. La intuición es que usted está integrando los pagos a través de todos los tiempos posibles de incumplimiento.
Dado que el incumplimiento podría producirse en cualquier momento t en [0, T], escribimos D(0,T) como una integral de 0 a T.
En cualquier momento t, el beneficio es el valor actual de 1 descontado al momento 0 si se produce el impago, ponderado por la probabilidad de que se produzca el impago en ese momento. El término de descuento es $$\exp\left(-\int_{0}^{t} r(s)ds\right)$$ y a partir de la información dada, la función de densidad de probabilidad por defecto es $$\lambda(t) \cdot \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda(s)ds\right) $$ .
Por lo tanto, podemos escribir D(0,T) como:
$$ D(0,T) = \int_{0}^{T} E[ \exp(-\int_{0}^{t}r(s)ds) \cdot \lambda(t) \cdot \exp(-\int_{0}^{t}\lambda(s)ds) \mid \mathcal{F}_t ] dt $$
Nótese que estamos utilizando la filtración F_t ya que representaría la información disponible en el momento t, que contendría tanto r(s) como λ(s) para todos los s≤t.
Dado que se supone que r y λ son independientes, podemos tratar r como determinista al tomar la expectativa condicional: $$ D(0,T) = \int_{0}^{T} \exp(-\int_{0}^{t}r(s)ds) \cdot E[ \lambda(t) \cdot \exp(-\int_{0}^{t}\lambda(s)ds) \mid \mathcal{F}_t ] dt $$
Lo que se simplifica a: $$ D(0,T) = \int_{0}^{T} \lambda(t) \cdot \exp(-\int_{0}^{t} (r(s) + \lambda(s)) ds) dt $$ En esta última expresión, el $$\lambda(t) \cdot \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda(s)ds\right)$$ representa la probabilidad de impago en el momento t y $$\exp\left(-\int_{0}^{t} r(s)ds\right) $$ es el factor de descuento. Integramos este producto sobre [0, T] para obtener el pago descontado esperado del bono.
Es importante recordar que la ley de expectativas iteradas y los supuestos de independencia entre determinadas variables son claves para simplificar este tipo de expresiones en el contexto del riesgo de crédito.
