Cálculo de Vega por diferencias finitas - confirmación del enfoque adecuado

Question

Tengo una simulación MC que utiliza diferencias finitas para calcular las griegas. Es para cestas y diferenciales de calendario sobre todo.

Ahora, el enfoque lógico (para mí) para calcular Vega es aumentar la volatilidad de entrada en un 1% (vol anual) para cada pierna (leg1 Vega: leg1 vol + 1%, leg2 Vega: leg2 vol + 1%, etc.), reprice, luego restar el precio inicial, pierna por pierna. Resultado = cambio de $ por un aumento de la volatilidad del 1% en cada tramo de la opción.

Hoy, mi jefe me ha dicho que debería utilizar una cifra mucho menor que el 1% (como choque de FD). Le respondí: ¿pero no se supone que Vega te muestra el cambio en el valor de la opción con un aumento del 1% en la volatilidad (anualizada)? ¿Me he perdido algo? Por favor, si hay otros métodos, o estoy completamente equivocado en mi enfoque, realmente necesito saber. Y si mi método es satisfactorio, por favor confírmelo también.

Nota sobre mis antecedentes: Yo venía de un papel de riesgo de mercado, y se transfirió a la fijación de precios de derivados. No al revés, por lo que entiendo el significado de Vega como se entiende en el riesgo de mercado. Es muy posible que desde una perspectiva de ingeniería financiera se vea de otra manera, pero eso es nuevo para mí.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

¿Ha probado a utilizar su herramienta para las opciones vainilla (un único subyacente)? Técnicamente, las griegas de Black Scholes son para cambios infinitesimales (no del 1%).

Dicho esto, hacer desplazamientos demasiado pequeños es peligroso, especialmente con métodos numéricos, porque se puede llegar a una zona en la que el error estándar sea mayor que el cambio de desplazamiento en vol.

Este responder muestra las dos formas principales de calcular griegas con bump y reprice:

• $[P(v+d/2) - P(v-d/2)]/d$ diferencia central -> golpe arriba y abajo

• $[P(v+d) - P(v)]/d$ diferencia hacia delante -> sólo cambio hacia arriba

La primera es la más utilizada para Delta y Gamma. La segunda es la que utilizan la mayoría de los sistemas (que he encontrado) para calcular vega; en la mayoría de los casos se hace con un desplazamiento unilateral absoluto de 0,0050 = 0,5% = 50 puntos básicos.

En modelos complejos, se pueden calcular griegas de muchas otras maneras:

• griegos de mercado: bump market (vol surface) y reprice (se puede recalibrar o no)
• model greeks: bump model parameters (e.g. LV surface) and reprice

Si se utiliza (probablemente el enfoque más sensato) una técnica de "bump market, recalibrar y retarificar", lo ideal sería acercarse a expresiones de forma cerrada.

Dependiendo de su acceso a otros precios, podría comparar su modelo con las herramientas existentes (por ejemplo, Bloomberg DLIB), donde puede decidir manualmente cuál debe ser el desplazamiento de sus griegas (con tamaños por defecto del 1% para delta y del 0,5% para vega en renta variable).

Answer 2

Cuando se utiliza la diferenciación numérica basada en un estimador de Monte-Carlo se encuentran dos fuentes de error.

1. Error de Monte-Carlo de orden $\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$ para una simulación de tamaño $N$ ,
2. Error de diferencia numérica. La diferencia directa tiene un error de orden $\mathcal{O}(h)$ . La diferencia central es mejor con orden $\mathcal{O}(h^2)$ para el tamaño del bulto $h>0$ .

Debe comprobar qué tamaño de protuberancia $h>0$ le ofrece la mejor compensación entre esas dos fuentes de error. Dependiendo del método que utilices y del número de escenarios simulados, el 1% puede ser justo, demasiado pequeño o demasiado grande.

Adicionalmente recomendaría comprobar que sería beneficioso computar derivadas direccionales basadas en componentes principales identificables. En su caso podría ser, por ejemplo, como sigue:

1. Desplazamiento paralelo: aumentar la volatilidad de la pierna1 y la pierna2 la misma cantidad hacia arriba.
2. Desplazamiento del diferencial: aumenta la volatilidad del tramo 1 y disminuye la del tramo 2 en la misma proporción.