En Regla de Leibnitz para la diferenciación de una integral es una consecuencia de la teorema fundamental del cálculo integral.
Una llamada función integral se define como
$$F(x) = \int_a^x f(t)dt\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
donde $f(t): (a,b) \subseteq\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con las hipótesis adecuadas sobre $f$ . $^1$
En teorema fundamental del cálculo integral establece que, bajo el supuesto anteriormente considerado:
$$F'(x) = f(x),\;\;\;\; \forall x \in (a,b)\;\;\;\;\;\;\;\; (2)$$ .
En particular, el teorema fundamental del cálculo integral junto con el regla de la cadena para la diferenciación de funciones compuestas nos da la fórmula si los extremos de la integración son función de $x$ y $f(x,y)$ es una función de dos variables que pueden integrarse con respecto a $t$ y diferenciado con respecto a $x$ :
$$F'(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f_x (x,t) dt+ f(x,b(x)) b'(x) - f(x,a(x)) a’(x) \;\;\;\;(3) $$
Esta última fórmula es la Regla de Leibnitz $^2$ .
Si $a(x) =a$ es una constante y $b(x)= x$ la regla se simplifica como:
$$F'(x)= f(x,x) + \int_{a}^{x} f_x (x,t) dt \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (4)$$
$$\;\;\;\;$$
En el caso, como en la fórmula en Barro & Sala i Martin de la pregunta, un extremo de la integración (o ambos) no es finito (es $\pm \infty$ ), tenemos un integral impropia en particular una integral en un intervalo infinito. Una integral impropia de este tipo es, por definición, el límite para $x \rightarrow \pm \infty$ (el extremo de integración como en $(4)$ ) de la misma integral con extremo finito, por lo que podemos proceder como siempre calculando la integral con extremo finito y luego tomando el límite. $^3$
Se trata de un marco general, indicativo.
$$***$$
Ahora, vamos a volver a la fórmula de Barro & Sala i Martin. Utilizaremos la regla de Leibnitz en la forma de la fórmula (4) anterior. Reescribo (4), en aras de la claridad, ajustando las notaciones a las fórmulas de Barro & Sala i Martin, es decir utilizando las mismas variables que en la pregunta:
$$F'(t)= f(t,t) + \int_{a}^{t} f_t (t,s) ds \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\; (4\;bis)$$
Reescribo también el problema en la pregunta:
$$V(t)=\int\limits_t^\infty \pi e^{-\bar{r}(t,s)(s-t)} ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5) $$
donde $$ \ \bar{r}(t,s)=\frac{1}{s-t}\int\limits_t^sr(\omega)d\omega.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
Deberíamos conseguir
$$r(t)=\frac{\pi}{V(t)}+\frac{\dot{V}(t)}{V(t)}. \;\;\;\;\;\; (7)$$
$$\;$$
Paso a paso SOLUCIÓN :
Reescribo $(5)$ sustituyendo $(6)$ en él. Tenemos:
$$V(t)=\int\limits_t^\infty \pi e^{-\int _t^s r(\omega)d \omega} ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(8)$$ Luego divido por $\pi$ intercambio los extremos de la integración (para que la integral cambie de signo), y tomo $a$ una constante, en lugar de $\infty$ como extremo de integración: más adelante, tomaremos el límite como $a \rightarrow \infty$ para obtener la integral impropia. Tenemos:
$$\frac{1}{\pi} V(t)=-\int\limits_a^t e^{-\int _t^s {r(\omega)} d\omega} ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$$
Ahora podemos aplicar la fórmula de Leibnitz $(4 \;bis)$ . Tenemos: $$-\frac{1}{\pi}\dot {V(t)}= e^{-\int _t^t {r(\omega)} d\omega} + \int _a^t e^{\int _s^t {r(\omega)} d\omega} r(t) ds \;\;\;\;\;\;(10)$$
El primer término después del signo de igualdad es $1$ (tenemos $e^0$ ). En la integral del segundo término tenemos la derivada con respecto a $t$ de nuestra $f(t)=e^{-\int _t^s r(\omega)} d\omega$ El $f_t$ de la regla de Leibnitz $(4 \;bis)$ (Explico esta derivada por separado en un comentario al final de la respuesta, de lo contrario la exposición se hace farragosa).
Ahora los pasos son bastante sencillos (lo más difícil es no liarse con los carteles).
Vuelva a escribir $(10)$ como:
$$-\frac{1}{\pi}\dot {V(t)}= 1+ r(t) \int _a^t e^{\int _s^t {r(\omega)} d\omega} ds \;\;\;\;\;\;(11)$$
Tomamos $r(t)$ fuera del signo de la integral, ya que no depende de la variable de integración $s$ .
Ahora, multiplica ambos lados por $\pi$ e intercambiar las variables de integración $a$ y $t$ :
$$-\dot {V(t)}= \pi- r(t) \int _t^a \pi e^{\int _s^t {r(\omega)} d\omega} ds \;\;\;\;\;\;(12)$$
Entonces, podemos tomar el límite como $a \rightarrow \infty$ para obtener:
$$-\dot {V(t)}= \pi- r(t) \int _t^{\infty} \pi e^{\int _s^ {r(\omega)} d\omega} ds \;\;\;\;\;\;(13)$$
El término integral en $(13)$ según $(5)$ y $(6)$ es $V(t)$ . Así que podemos reescribir $(13)$ como:
$$-\dot {V(t)}= \pi- r(t) V(t) \;\;\;\;\;\;(14)$$
del que se obtiene fácilmente
$$r(t)=\frac{\pi}{V(t)}+\frac{\dot{V}(t)}{V(t)} $$
es decir $(7)$ .
$$ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Box$$
$$\;$$
OBSERVACIÓN . Derivada $f_t$ de $f(t)=e^{-\int _t^s r(\omega)} d\omega$ tal como aparece en la ecuación $(10)$ .
Tenemos $f_t= e^{\int _s^t {r(\omega)} d\omega} r(t)$ para la regla de la cadena y para el teorema fundamental del cálculo $(2)$ .
Recuerde $\frac{d e ^{g(t)}}{dt} = e ^{g(t)} g'(t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(15)$ .
La derivada con respecto a $t$ de $\int _s^t r(\omega) d\omega$ , nuestro $g(t)$ para el teorema fundamental del cálculo $(2)$ es $r(t)$ .
Así, según $(15)$ tenemos:
$$f_t= e^{\int _s^t {r(\omega)} d\omega} r(t)$$ .
$^1$ $f(t)$ continua o discontinua en un número finito o contable de puntos. De forma más general y rigurosa, una función $f$ es Riemann-integrable si el conjunto de los puntos de discontinuidad de $f$ es un conjunto de medidas de Lebesgue nulas . Véase, por ejemplo, Royden, Análisis real . Por supuesto, la derivada (2) sólo existirá en los puntos en los que $f$ no es discontinua.
$^2$ Esta es la fórmula que se encuentra en el Apéndice A.5.6 de Barro & Sala i Martin, ecuación (A.119).
$^3$ Si ambos extremos de la integración son infinitos, debemos 'partir' la integral en dos trozos, tomar los límites por separado y luego sumarlos.
En el caso de que tengamos una integral impropia, debemos recordar que una integral impropia es un límite que extiende una integral a un área ilimitada, infinita, y este límite no siempre existe finito. Si la integral existe, finita, decimos que la integral converge . En caso contrario, la integral diverge y no podemos aplicar la regla de Leibnitz. Por lo tanto, para aplicar la fórmula de Leibnitz cuando tenemos un extremo infinito de integración, debemos estar seguros de que la integral converge, de lo contrario la derivada de $F$ no existe. Para un debate sobre este complicado asunto, puede consultar https://math.stackexchange.com/questions/298458/using-leibniz-integral-rule-on-infinite-region .
