Suavización Gamma de opciones de vainilla

Question

Quiero hacer una pregunta sobre la respuesta proporcionada aquí: https://quant.stackexchange.com/a/35211/61083. Me pregunto si hay una prueba matemática de por qué está funcionando. Es decir, si vuelvo a tasar una opción vainilla con un precio de ejercicio K, con una franja de opciones vainilla de precios de ejercicio que van desde K1 hasta KN, ¿por qué la gamma estaría limitada cuando la opción está en el dinero y cerca del vencimiento y no explotaría?

Answer 1

Gamma para opciones de vainilla siempre están limitadas, el delta de una opción solo puede moverse de 0 a 1, por lo que estos números están limitados especialmente con el subyacente teniendo un tamaño mínimo de tick en realidad. Si te estás preguntando por qué el Gamma es más pequeño para strikes separados, entonces es porque a medida que el tiempo se acerca al vencimiento de una opción, solo un strike puede estar realmente en juego en cualquier momento, por lo que solo el Gamma de ese strike cerca del precio subyacente actual será el más relevante.

Answer 2

El gamma de una opción a medida que se acerca la fecha de vencimiento se vuelve mal definido en $S_T = K$. Sin embargo, si aproximas tu opción sentada en $K$ como un conjunto de opciones con precios de ejercicio que van desde $K-\delta_K$ hasta $K+\delta_K$, lo que estás haciendo es limitar el pico ubicado en $K$ y reemplazar ese gamma completo por uno más amplio ubicado a lo largo de todos esos precios de ejercicio.

Aquí tienes un simple ejemplo de cómo se ve cuando reemplazas el gamma de una opción con precio de ejercicio $K$ por diez opciones de precios de ejercicio del 95% al 105% y una décima parte del nominal. Puedes simplemente enchufar las fórmulas de BS (para precio y gamma) y reproducirlas fácilmente en python.

Answer 3

Esto se llama técnica de cobertura sobrevalorada. Acabo de escribir un documento sobre este tema con rigurosas pruebas matemáticas. Espero que esto pueda ayudar.

Enlace al documento: https://connecthkuhk-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/huangdch_connect_hku_hk/Ef8-k1sQ0IhJvMyCCO-vG2ABg2I0lgyNxo1xtnunZJMh6A?e=hHcHRi