CES anidada en una función Cobb-Douglas

Question

Tengo la siguiente CES anidada en una función de producción Cobb-Douglas:

$$y(i)=[l(i)^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}} +\alpha(i)(\tilde{\gamma}x(i))^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}}]^{\frac{\epsilon \beta}{\epsilon-1}}h(i)^{1-\beta}$$

$\beta \in (0,1)$ , $\tilde{\gamma}$ es un parámetro de productividad, y $\epsilon$ >1 es el EOS entre trabajadores poco cualificados, $l(i)$ y máquinas $x(i)$ . También, $\alpha(i)$ es una función indicadora que toma valor uno si el producto $i$ está automatizado y cero en caso contrario. Matemáticamente, $\alpha(i) \in \{0,1\}$ . Por fin, $h(i)$ son trabajadores altamente cualificados.

La función de coste unitario del producto $y(i)$ es:

$$c= \beta^{-\beta}(1-\beta)^{-(1-\beta)}(w_L^{1-\epsilon}+\gamma \alpha(i))^{\frac{\beta}{1-\epsilon}}w_H^{1-\beta}$$

donde $w_L$ es el coste unitario del insumo $l(i)$ uno es el coste unitario del insumo $x(i)$ y $w_H$ es el coste unitario del insumo $h(i)$ . Finalmente $\gamma \equiv \tilde{\gamma^\epsilon}$

¿Podría decirme cómo derivar esta función de coste unitario?

Answer 1

Voy a dar los pasos a seguir para resolver este problema de optimización:

La función de coste para $y(i)$ viene dado por:

\begin{equation*} C(w_H,w_L,y(i))= w_H h(i)^{\ast} + w_L l(i)^{\ast} + x(i)^{\ast} \label{cost} \end{equation*}

La función de producción es homogénea de grado 1, es decir, presenta un rendimiento constante a escala. Esto hace que el coste medio sea igual al coste marginal.

Por comodidad, escribiremos la función de producción como

\begin{equation} y(i)=z(i)^{\beta}h^{1-\beta} , \text{$~$ with $$} z(i) \equiv [l(i)^{\frac{\epsilon -1}{\epsilon}} + (\alpha(i) \tilde{\gamma})^{\frac{\epsilon -1}{\epsilon}}]^{\frac{\epsilon}{\epsilon -1}} \end{equation} La función de costes es la siguiente

\begin{equation} C(w_H,w_z,y(i))= w_H h(i)^{\ast} + w_z z(i)^{\ast} \label{cost2} \end{equation}

En la primera etapa, minimizas:

\begin{equation} \begin{array}{rrclcl} min ~{ w_H h(i) + w_z z(i)}\\ \textrm{s.t.} & z(i)^{\beta}h^{1-\beta} \ge y(i) \end{array} \end{equation}

Resolviendo este problema de minimización de costes se obtiene $h(i)^{\ast},z(i)^{\ast}$ . A continuación, introduzca estas demandas de factores de entrada condicionales en la función objetivo. Como resultado, se obtiene la función de coste (que depende de $w_H,w_Z,y(i))$ .

En la segunda fase, se minimiza

\begin{equation} \begin{array}{rrclcl} min ~{ w_L l(i) + x(i)}\\ \textrm{s.t.} & \left[ l(i)^{\frac{\epsilon -1}{\epsilon}} +\alpha(i)(\tilde{\gamma}x(i))^{\frac{\epsilon -1}{\epsilon}} \right]^{\frac{\epsilon }{\epsilon -1}} = z(i) \end{array} \end{equation}

Resolviendo este problema de minimización de costes, se encuentra $x(i)^{\ast},l(i)^{\ast}, \lambda^{\ast}$

Ahora, desde el bien compuesto, $z(i)$ tiene un precio igual a su coste marginal, se obtiene $w_z=\lambda^{\ast}$ . Utilizando este resultado en la función de coste procedente de la primera etapa, ya has terminado, acabas de encontrar la función de coste total. Divídala por $y(i)$ y se obtiene el coste unitario de producción

Answer 2

Puesto que estamos interesados en encontrar el coste unitario, dejemos que la producción necesaria sea igual a 1, es decir, $y(i)\overset{set}=1$ Tenemos que resolver: $$\begin{align} \min_{l(i),x(i),h(i)\geq0} \quad & w_Ll(i)+x(i)+w_{H}h(i)\\ \textrm{s.t.} \quad & [l(i)^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}} +\alpha(i)(\tilde{\gamma}x(i))^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}}]^{\frac{\epsilon \beta}{\epsilon-1}}h(i)^{1-\beta}=1\\ \textrm{and} \quad & \alpha(i)=\begin{cases}1 & \text{if } i\text{ is automated}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases} \end{align}$$

Voy a utilizar la función de indicador y resolver dos casos diferentes y luego tratar de combinarlos utilizando el indicador.

Caso 1: Si $i$ no está automatizado, es decir $ \alpha(i)=0$

Si $i$ no está automatizado, entonces el problema de minimización de costes se convierte en uno estándar con una función de producción Cobb-Douglas $$\begin{align} \min_{l,x,h\geq 0} \quad & w_Ll+x+w_{H}h\\ \textrm{s.t.} \quad & l^{\beta}h^{1-\beta}=1\\ \end{align}$$

Esto no es más que un problema estándar de minimización de costes con una función de producción cobb-douglas, así que creo que puedes comprobar tú mismo que el problema anterior da: $l(i)=\left(\frac{w_H\beta}{w_L(1-\beta)}\right)^{1-\beta}, \quad x(i)=0, \quad h(i)= \left(\frac{w_L(1-\beta)}{w_{H} \beta}\right)^{\beta}$

por lo tanto, $$\begin{eqnarray} & c=w_L^\beta\left(\frac{w_H\beta}{1-\beta}\right)^{1-\beta}+w_H^{1-\beta}\left(\frac{w_L(1-\beta)}{\beta}\right)^{\beta}\\\\ \implies & {\boxed{c=w_L^\beta w_H^{1-\beta} \beta^{-\beta}(1-\beta)^{\beta-1}}}\tag{a} \end{eqnarray}$$

Caso 2: Si $i$ está automatizado $$\begin{align} \min_{l,x,h\geq 0} \quad & w_Ll+x+w_{H}h\\ \textrm{s.t.} \quad & [l^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}} +(\tilde{\gamma}x)^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}}]^{\frac{\epsilon \beta}{\epsilon-1}}h^{1-\beta}=1\\ \end{align}$$

escribamos el problema anterior como $$\begin{align} {\min_{0\leq h \leq 1} \underbrace{\begin{pmatrix} \underset{l,x}{\min} \quad & w_Ll+w_Hh+x \\ \textrm{s.t.} \quad & [l^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}} +(\tilde{\gamma}x)^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}}]^{\frac{\epsilon}{\epsilon-1}}=h^\frac{\beta -1}{\beta} \end{pmatrix}}_{\text{auxiliary problem}}} \tag{1} \end{align}$$

Podemos resolver el problema anterior en dos etapas:

Fase 1: resolver primero el problema auxiliar para $l$ y $x$ en $h$ fijo

Fase 2: Sustituir las soluciones del problema auxiliar $-$ $l(h)$ y $x(h)$ $-$ en $(1)$ y resolver el problema para encontrar el óptimo $h$

Fase 1: que tenemos que resolver: $$\begin{align} \underset{l,x}{\min} \quad & w_Ll+w_Hh+x \\ \textrm{s.t.} \quad & [l^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}} +(\tilde{\gamma}x)^{\frac{\epsilon - 1}{\epsilon}}]^{\frac{\epsilon}{\epsilon-1}}=h^\frac{\beta -1}{\beta}\\ \text{gives:} \quad & {\left.\begin{matrix} l(h)=\frac{h^\frac{\beta -1}{\beta}}{[1+(w_L\tilde \gamma)^{\epsilon -1}]^\frac{\epsilon}{\epsilon-1}} \\ x(h)=\frac{w_L^\epsilon \tilde{\gamma}^{\epsilon -1} h^\frac{\beta -1}{\beta}}{[1+(w_L\tilde \gamma)^{\epsilon -1}]^\frac{\epsilon}{\epsilon-1}} \end{matrix}\right\}}\tag{2} \end{align}$$

Porque se nos da que $\epsilon>1$ Se puede comprobar que las isocuantas serán convexas. Así, pude resolver lo anterior igualando las razones de MP a MC para $l$ y $x$ y sustituyéndolos en la restricción.

Fase 2: sustituyendo $(2)$ en $(1)$ obtenemos la resolución final del problema que dará como resultado óptimo $h$ $$\begin{align} \min_{0\leq h\leq 1} \quad & w_Hh+w_L[1+(w_L\tilde \gamma)^{\epsilon -1}]^\frac{1}{1-\epsilon} h^\frac{\beta -1}{\beta}\tag{3} \end{align}$$

el objetivo anterior es convexo en $h \; \because \beta<1$ por lo que asumiendo la condición paramétrica obtenemos un punto estacionario que se encuentra en el intervalo $(0,1)$ podemos resolver la h óptima en el problema anterior y sustituirla en el propio problema para obtener $c$ para $\alpha=1$ :

$$h^*=\left(\frac{(1-\beta)w_L[1+(w_L\tilde \gamma)^{\epsilon -1}]^\frac{1}{1-\epsilon}}{w_H\beta}\right)^\beta$$

sustituyendo $h$ en $(3)$ danos: $$\boxed{c=w_H^{1-\beta}(1-\beta)^{\beta-1}\beta^{-\beta}\left[w_L^{1-\epsilon}+\tilde \gamma^{\epsilon-1}\right]^\frac{\beta}{1-\epsilon}}\tag{b}$$

podemos combinar las soluciones de caso 1 y caso 2 es decir, $(a)$ y $(b)$ Por lo tanto, tenemos

$c=\begin{cases} w_H^{1-\beta} \beta^{-\beta}(1-\beta)^{\beta-1}w_L^\beta & \text{if } \alpha(i)=0 \\ w_H^{1-\beta}(1-\beta)^{\beta-1}\beta^{-\beta}\left[w_L^{1-\epsilon}+\tilde \gamma^{\epsilon-1}\right]^\frac{\beta}{1-\epsilon} & \text{if } \alpha(i)=1 \end{cases}$

utilizando $\alpha(i)$ lo anterior también se puede escribir como: $$\boxed{c=w_H^{1-\beta}\beta^{-\beta}(1-\beta)^{\beta-1}\left(w_L^{1-\epsilon}+\tilde \gamma^{\epsilon-1} \alpha(i) \right)^\frac{\beta}{1-\epsilon}}$$