Trato de entender la cartera de igual contribución al riesgo (ERC) tal como se describe en Sobre las propiedades de las carteras de contribuciones al riesgo ponderadas por igual por Teiletche y Roncalli. Para una matriz de covarianza dada de $n$ activos $\Sigma$ definen el siguiente problema de optimización (el $y$ -): $$ y^* = \text{arg min} \{ \sqrt{ y^T \Sigma y}\} $$ con las restricciones $$ y \ge 0 \text{ and } \sum_{i=1}^n \ln y_i \ge c. $$ En qué parte de $c$ es una constante arbitraria.
Lo que supongo:
- $c$ por supuesto tiene que ser mayor que $- \infty$ de lo contrario tendríamos la cartera de volatilidad mínima.
- Para $c = -n \ln n$ llegamos a la cartera de igual ponderación (todas las ponderaciones iguales a $1/n$ ).
¿Es correcta la siguiente interpretación?
- Si primero elijo algunos $c \in (-\infty, -n \ln n)$ entonces puedo resolver el problema anterior con la solución $y^*(c)$ .
- Entonces puedo reescalar la solución: $x_i^* = \frac{y^*_i(c)}{\sum_{i=1}^n y^*_i(c)}$ para obtener $x^* = (x^*_i)_{i=1}^n $ que son los pesos del CER.
Así, si hablan de un $c$ quieren decir que este $c$ debe elegirse entre un intervalo determinado. Entonces obtengo una solución para $y^*$ y después de reescalar la elección particular de $c$ desaparece. ¿Es esto correcto?
En el artículo anterior también escriben que la solución puede derivarse directamente fijando $c^* = c - n \ln \{\sum_{i=1}^n y^*_i(c)\}$ donde $c$ se utilizó para encontrar $y*(c)$ y luego resolver (el $x$ -problema) $$ x^* = \text{arg min} \{ \sqrt{ x^T \Sigma x}\} $$ con las restricciones $$ x \ge 0 \text{ and } \sum_{i=1}^n \ln x_i \ge c^* \text{ and } \sum_{i=1}^n x_i = 1. $$
Intenté entenderlo durante un tiempo. En mi opinión, la elección de $c$ no es tan arbitraria. Si alguien ha pensado en este problema de optimización, me encantaría escuchar sus comentarios. Muchas gracias.
EDITAR: He programado lo anterior en R. Puedes encontrar el código y un archivo html explicativo en github o el archivo html directamente . Mi interpretación parece correcta. Sólo tienes que elegir $c$ y luego reescalar para que la suma de pesos sea igual a uno. Me gustaría entenderlo mejor. Así que por favor únase a la discusión si lo desea.
EDIT2: He empezado a entender mejor la restricción de desigualdad. Supongo que por la misma razón que para la $y$ -obtenemos que la restricción logarítmica del $x$ -problema se alcanza realmente: $$ \sum_{i=1}^n \ln x_i = c^*. $$ Entonces podemos insertar $c^{\ast} = c - n \ln( \sum_{i=1}^n y_i^{\ast})$ y así $$ \sum_{i=1}^n \ln x_i = c - n \ln( \sum_{i=1}^n y_i^{\ast}). $$ $y^{\ast}$ es la solución óptima del $y$ -con la restricción logarítmica utilizando $c$ . Por lo tanto, debe sostenerse que $\sum_{i=1}^n \ln y_i^{\ast} = c$ y obtenemos
$$ \sum_{i=1}^n \ln x_i = \sum_{i=1}^n \ln y_i^{\ast} - n \ln( \sum_{i=1}^n y_i^{\ast}), $$ que puede reescribirse como $$ \sum_{i=1}^n \ln x_i = \sum_{i=1}^n \ln \left(\frac{y_i^{\ast}}{\sum_{i=1}^n y_i^{\ast}} \right). $$ Pero esto no implica que $x_i = \frac{y_i^{\ast}}{\sum_{i=1}^n y_i^{\ast}}$ lo que significaría que $x$ es el óptimo reescalado del $y$ -problema. Además, en mi razonamiento, la función objetiva pierde bastante sentido.
Por último, estoy atascado. ¿Tiene alguna idea de por qué la elección especial de la restricción da inmediatamente el ERC?
