Supongamos que tengo las restricciones presupuestarias del período, donde $c$ es el consumo y $k$ es capital: $$ c_{0}+k_{1}=Rk_{0} $$ $$ c_{1}+k_{2}=Rk_{1} $$ $$ \vdots $$ $$ c_{T}+k_{T+1}=Rk_{T} $$ y $$ k_{T+1}=0 $$ Las notas dicen que con la sustitución repetida, el intertemporal consolidado intertemporal consolidada debería ser: $$ c_{1}+\frac{1}{R}c_{1}+\frac{1}{R^{2}}c_{2}+...+\frac{1}{R^{T}}c_{T}=Rk_{0} $$ No sé cómo conseguirlo. He intentado sustituir: $$ k_{1}=Rk_{0}-c_{0} $$ y $$ k_{2}=Rk_{1}-c_{1}=R^{2}k_{0}-Rc_{1}-c_{1} $$ y así sucesivamente, pero esto sólo parece complicarse. Creo que el terminal es decir $$ c_{T}=Rk_{T} $$ es probablemente útil aquí, pero no estoy seguro de cómo trabajar hacia atrás con él. Agradezco cualquier ayuda.
Respuesta
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Sole Brun
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En realidad he probado lo siguiente: $$ c_{0}+k_{1}=Rk_{0}\implies k_{1}=Rk_{0}-c_{0} $$ $$ k_{2}=R^{2}k_{0}-Rc_{0}-c_{1} $$ etc. Esto nos da: $$ c_{T}+R^{T}c_{0}+R^{T-1}c_{1}+...+Rc_{T-1}=R^{T+1}k_{0} $$ Multiplica ambos lados por $\frac{1}{R^{T}}$ $$ c_{0}+\frac{c_{1}}{R}+....+\frac{c_{T}}{R^{T}}=Rk_{0} $$
