Unicidad del equilibrio

Question

Tengo un modelo con dos variables endógenas X e Y, y un conjunto de parámetros que denoto por $\omega$ . Equilibrio $X^{*}(\omega)$ y $Y^{*}(\omega)$ en este modelo es la solución a:

\begin{align*} F(X,Y;\omega)=0 \\ H(X,Y;\omega)=0 \end{align*}

Me gustaría saber si este equilibrio es único (dados los parámetros). Puedo demostrar que, si X es exógenamente dado, $Y^{*}(\omega, X)$ está determinada de forma única. Del mismo modo, puedo demostrar que, si Y es exógenamente dado, $X^{*}(\omega, Y)$ está determinada de forma única. ¿Puedo aprovechar estos dos resultados para demostrar que el equilibrio con dos variables endógenas es único? Estaba pensando en demostrarlo por contradicción, pero no estoy seguro de que tenga sentido.

Gracias.

Answer 1

No sin más suposiciones. Dejemos que $F(X,Y)=H(X,Y)=|X-Y|$ . Esto satisface sus suposiciones, pero cada par con $X=Y$ es un equilibrio.

Answer 2

Nada garantiza que sea una solución única.

Al contrario, decir

Puedo demostrar que, si X es exógenamente dado, $Y^{*}(\omega, X)$ es determinado de forma única. Del mismo modo, puedo demostrar que, si Y es exógeno exógena, $X^{*}(\omega, Y)$ se determina unívocamente

está afirmando que el sistema tiene soluciones infinitas. $^1$

Considere su sistema, suponiendo un valor dado de $X$ , digamos $X_1$ .

\begin{align*} F(X_1,Y;\omega)=0 \\ H(X_1,Y;\omega)=0 \end{align*}

Según su afirmación anterior, existe un único $Y_1$ tal que $(X_1,Y_1)$ es una solución.

Es decir, la pareja $(X_1,Y_1)$ es una solución.

Ahora, reconsidere el sistema con un valor diferente dado de $X$ , digamos $X_2$ .

\begin{align*} F(X_2,Y;\omega)=0 \\ H(X_2,Y;\omega)=0 \end{align*}

Habrá un $Y_2$ tal que $(X_2,Y_2)$ es una solución.

Es decir, la pareja $(X_2,Y_2)$ también es una solución.

Y así sucesivamente.

Suponiendo un valor infinito dado de $X$ , $X_i$ , $i=1,2,...$ tienes infinitas soluciones. $^2$

$\;$

La segunda parte de su declaración

Del mismo modo, puedo demostrar que, si Y es exógenamente dado, $X^{*}(\omega, > Y)$ se determina unívocamente

sólo dice que, para cada $Y_i$ existe un único $X_i$ es decir, que el $Y_i$ serán diferentes entre sí: $Y_i\neq Y_j$ para $i\neq j$ (en realidad, sólo está afirmando que existe una biyección entre el $X_i$ y el $Y_i$ ).

$\;$

Por ejemplo, si las dos ecuaciones fueran lineales, serían linealmente dependientes, es decir, serían dos rectas coincidentes.

$$***$$

Fuera sistemas de ecuaciones lineales, no existe un método general para afirmar la existencia y unicidad de las soluciones de un sistema de ecuaciones.

Un posible ejemplo en el que se puede afirmar la existencia y unicidad de la solución, para una sola ecuación, es el caso de un función continua estrictamente creciente $f(x)$ en un intervalo $(a,b)$ de $\mathbb{R}$ (es una consecuencia del Teorema del Valor Intermedio): la ecuación $f(x)=C$ , $C\in\mathbb{R}$ tiene una solución única en $(a,b)$ .

Se puede utilizar un importante teorema del análisis matemático, el Teorema de los mapas de contracción o teorema del punto fijo de Banach-Caccioppoli porque muchos problemas de búsqueda de soluciones de un sistema de ecuaciones pueden verse como un problema de punto fijo de un mapa de contracción.

Este teorema se utiliza en análisis numérico para encontrar soluciones de ecuaciones, pero su uso en aplicaciones requiere información suficiente sobre las funciones.

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$^1$ Obviamente, entiendo que usted quiere decir que existe una solución, para cualquier exógenamente dado $X$ o $Y$ .

$^2$ En realidad, habrá un continuo de soluciones, ya que $X$ varía en $\mathbb{R}$ .