Pregunta sobre el modelo de regresión media

Question

Esta pregunta está resultando inusualmente confusa. Apreciaría mucho su ayuda y también su paciencia... Voy a subir esta pregunta/esquema de marcas mediante una captura de pantalla. Sé que está mal visto, pero en este caso raro espero que aquellos de ustedes que me conocen pueden perdonar hahah.

Pregunta b) es lo que me causa dolor. Estoy particularmente confundido por:

1. La naturaleza fragmentaria de $(t)$ y cómo la aplicamos. La pregunta me pide que resuelva $t > t_0 + h$ En ese caso, ¿por qué la derivada no se reduce a cero como se especifica en " de lo contrario "de la función.
2. La gama de integración definitiva va de $t_0$ a $t_0 + h$ . Este es un truco común que estoy viendo entre estas preguntas, hice un post anterior al respecto . Pero todavía estoy luchando con la intuición general para la técnica. Sé que suena un poco obvio, es decir, " Tenemos un rango para t, convirtámoslo en un rango de integración", pero la verdad es que no lo entiendo. Por ejemplo, ¿cuándo podríamos no hacer esto?
3. El azar $-(z(0))$ . Lo que creo que ha ocurrido aquí es que debido a que el lado derecho se ha convertido en una integral definida, la constante de integración del lado izquierdo no puede ser subsumida en el lado derecho, por lo que hemos decidido arbitrariamente hacer el lado izquierdo constante de integración. $-z(0)$ ?
4. El uso de $s$ . ¿Esto es sólo para representar $s = t > t_0 + h$ ?. Pero esto me lleva de nuevo a mi confusión expresada en 1.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Estoy respondiendo al aspecto matemático de esta pregunta y no al económico. Tal vez alguien que conozca el tema en cuestión pueda responderla.

Notación: $\dot{x} := x'(t)$

La ecuación diferencial dada es $\dot{y} + \alpha(y - \theta) = \sigma \dot{\eta} \iff \dot{z} + \alpha z = \sigma \dot{\eta}$ . Esto no es equivalente a (a menos que haya escrito deliberadamente $\mu$ para denotar la constante deseada, que debe escribirse a trozos)

En su lugar, puede escribirlo como $$\frac{d}{dt}[z e^{\alpha t}] = \left(\frac{\sigma}{\alpha}\right) \frac{d}{dt} [\dot{\eta} e^{\alpha t}]$$

Ahora integra ambos lados sobre $t \in [0,s]$ donde $s > t_0+h$ :

\begin{align*} \int_{z(0)}^{z(s) e^{\alpha s}} d (z e^{\alpha t}) &= \int_{z(0)}^{z(s) e^{\alpha s}} \left(\frac{\sigma}{\alpha}\right) d (\dot{\eta} e^{\alpha t}) \\ &= \int_{0}^{s} \left(\frac{\sigma}{\alpha}\right) (\ddot{\eta} e^{\alpha t} + \dot{\eta}\alpha e^{\alpha t}) dt \quad (\color{red}\star)\\ &= \sigma \int_0^s \dot{\eta} e^{\alpha t} dt \\ &= \sigma \left( \underbrace{\int_0^{t_0} \dot{\eta} e^{\alpha t} dt}_{\text{this is 0 as } \dot{\eta} = 0 \ \forall \ t \in [0,t_0]} + \underbrace{\int_{t_0}^{t_0+h} (\dot{\eta} e^{\alpha t}) dt}_{\text{here } \dot{\eta} = \frac{1}{h} \ \forall \ t \in [t_0, t_0+h]} + \underbrace{\int_{t_0+h}^{s} \dot{\eta} e^{\alpha t} dt}_{\text{this is 0 as } \dot{\eta} = 0 \ \forall \ t > t_0+h} \right) \\ &= \frac{\sigma}{h} \left(\int_{t_0}^{t_0+h} e^{\alpha t} dt \right) \end{align*}

para obtener $\displaystyle z(s) e^{\alpha s} - z(0) = \frac{\sigma}{h} \int_{t_0}^{t_0+h} e^{\alpha t} = \frac{\sigma}{h} \left( \frac{e^{\alpha (t_0+h)}-e^{\alpha t_0}}{\alpha} \right)$ .

Simplificándolo, obtenemos $\displaystyle z(s) = z(0)e^{-\alpha s} + \frac{\sigma}{h} e^{-\alpha s} e^{\alpha t_0} \left( \frac{e^{\alpha h} - 1}{\alpha} \right)$ que coincide con su solución excepto por un $h$ que han escrito (y que usted ha señalado a continuación en su respuesta).

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Algunas explicaciones/cálculos que pueden ser útiles:

• $({\color{red} \star})$ se deduce de $\frac{d (\dot\eta e^{\alpha t})}{dt} = \ddot{\eta} e^{\alpha t} + \dot{\eta} \alpha e^{\alpha t} \implies d (\dot\eta e^{\alpha t}) = (\ddot{\eta} e^{\alpha t} + \dot{\eta} \alpha e^{\alpha t}) dt$ y cambiando adecuadamente los límites de la integral.
• $\int e^{\alpha t} dt = \frac{e^{\alpha t}}{\alpha} + c$ . A partir de aquí, obtenemos $\int_{t_0}^{t_0+h} e^{\alpha t} dt = \frac{e^{\alpha t}}{\alpha} \vert_{t_0}^{t_0+h} = \frac{e^{\alpha(t_0+h))} - e^{\alpha t_0}}{\alpha}$ .

Answer 2

Ok, con el increíblemente útil post de Solow Supremacy (Muchas gracias Solow) creo que he creado una solución correcta. Ver archivo adjunto a continuación. Las cosas que quiero aclarar son.

1. El sistema de puntuación escribe el lado derecho de la ecuación diferencial como $\frac{d}{dt}e^{t}$ creo que es un error tipográfico, falta el $$ por lo que se lee como algo totalmente diferente. Debería ser $\frac{d}{dt}e^{t}$ ?

• A partir de esta ecuación correcta, la descomponemos en múltiples integrales, donde el rango de cada integral corresponde a los diferentes rangos de la función a trozos...

2. @Solow sigo sin entender como consigues $(\frac{}{})\frac{d}{dt}[\frac{d}{dt}e^{t}]$ donde ha utilizado el $\dot$ notación para $\frac{d}{dt}$ . ACTUALIZACIÓN: ahora se entiende... muy inteligente .

3. Como me sugirieron, lo dividí en varias integrales. Sin embargo, no creo que tuviera el lenguaje correcto para decir $\frac{d}{dt}$ evaluados entre $a$ y $b$ p.e. usé el improvisado $\frac{d}{dt}|_a^b$ ¿es válido? ¿Cómo debo escribirlo?

4. Creo que el Markscheme tiene otra errata ya que la respuesta final tiene dos $\frac{1}{h}$ es decir $\frac{1}{h^2}$ . No veo de dónde sacan el segundo $h$ ?