CRS, funciones homotéticas y MRTS constantes

Question

Preguntas

Cuando nuestro mapa Isoquant exhibe MRTS constante a lo largo de un rayo desde el origen haciendo. Por qué hacemos referencia específica a.

1. Rendimientos constantes a escala
2. Funciones homotéticas

Lo pregunto porque me parece que cualquier función homogénea es satisfactoria, es decir, según mi texto, para una función homogénea de grado $d>0$ $MRTS$ dependerá sólo de la relación de su entrada. Por ejemplo, si observamos nuestro Cobb-Duglas estándar, obtenemos $MRTS_{l,k} = \frac{k}{l}$ Esto parece depender únicamente de la proporción de $k$ & $l$ para cualquier & elegido, que dependiendo de la elección puede dar DRS, CRS, o ICS.

Contexto

Mi libro "Extensiones microeconómicas intermedias" - Walter Nicholson (Un gran libro, por cierto, que me encanta). Se hace hincapié en el papel de la función homogénea de grado uno (CRS), como nos da mapas Isoquant donde MRTS son constantes a lo largo de un rayo.

No entiendo por qué se hace hincapié aquí en la SIR y no sólo en la homogeneidad mayor que 0. Por ejemplo, no entiendo la importancia de lo siguiente:

Dado que la función de producción de A CRS es homotética, la RTS sólo depende de la relación de $k$ a $l4 no en la escala de producción.

¿Por qué no dice simplemente. ' Dado que la función es homogénea en un grado superior a 0, RTS sólo depende de la relación de $k$ a $l$ no en la escala de producción".

Mi interpretación es la siguiente:

1. Cualquier función homogénea de grado $d > 0$ será Homotética.
2. Cualquier función $f$ que satisface lo siguiente es homotético.

• Se puede escribir como $f(x,y) = q(r(x,y))$
• Dónde $r$ es una función homogénea de grado 1
• $q$ es estrictamente creciente .
• Esto tiene sentido, y puedo probarlo.

3. Se puede demostrar que la relación de las derivadas parciales, por ejemplo la MRTS, de cualquier función homogénea depende sólo de la relación de las entradas y no de su valor absoluto. Estoy contento con la prueba de esto.

Recapitulación de preguntas: Para nuestra constante MRTS a lo largo de un rayo desde el origen ¿por qué nos importa:

1. CRS
2. Funciones homotéticas
3. Creo que en general no entiendo el valor añadido de una función homotética frente a una función homogénea.

Answer 1

3. Creo que en general me falta el valor añadido de un homotético frente a una función homogénea.

El valor añadido de las funciones homotéticas es que son una clase más amplia con respecto a funciones homogéneas.

Así se puede trabajar con supuestos menos restrictivos, preservando algunas propiedades importantes.

De hecho, las funciones homotéticas pueden considerarse una generalización de las funciones homogéneas.

Se puede demostrar que homogeneidad $\implies$ homotecia.

Pero lo contrario no es cierto, las funciones homotéticas constituyen una clase más amplia, es decir hay muchas funciones homotéticas que no son homogéneas.

Consideremos, por ejemplo, la función

$$f(x,y)= \frac {1}{2} \ln(x)+ \frac {1}{2} \ln (y)= \ln(x^{\frac {1}{2}}y^{\frac {1}{2}})\qquad (1)$$

Evidentemente, está escrito como $f(x,y) = q(r(x,y))$ donde $r(x,y)=x^{\frac {1}{2}}y^{\frac {1}{2}}$ es homogénea de grado $1$ y $q$ (el logaritmo) es estrictamente creciente.

Pero los cálculos demuestran que no es homogénea. Multiplicando $x$ y $y$ por $t>0$ obtenemos

$$\ln((tx)^{\frac {1}{2}}(ty)^{\frac {1}{2}}) = \ln (t x^{\frac {1}{2}} y^{\frac {1}{2}})=\ln(t) + \ln (x^{\frac {1}{2}}y^{\frac {1}{2}})\neq t \ln (x^{\frac {1}{2}}y^{\frac {1}{2}}) \qquad (2)$$

$$***$$

Las funciones homotéticas heredan algunas características de las funciones homogéneas, en particular la propiedad de que a lo largo de las líneas que pasan por el origen la tasa marginal de sustitución es constante . Y se ha demostrado que lo contrario también es cierto es decir, las funciones homotéticas son las clase única de funciones que tienen esta propiedad.

Ide y Takayama, Sobre las funciones homotéticas analiza la cuestión y aporta una prueba:

En el análisis económico, la importancia de la homotecia de funciones de producción (o funciones de utilidad), que se debe a Shepard (1953), ha sido bien reconocida. Su característica importante radica en la hecho de que toda trayectoria de expansión es un rayo desde el origen sólo si si la función de producción (o de utilidad) subyacente es homotética. Aunque la demostración de la parte "si" de esta afirmación es fácil, la demostración de la parte "sólo si" p prueba de la parte "sólo si", al menos tal como aparece en la literatura, no es fácil [ ] Por lo tanto, sería deseable obtener una prueba una prueba elemental, corta y alternativa de esta importante proposición. proposición. [ ]En este artículo demostramos simultáneamente la parte "sólo si" y la parte "si". simultáneamente. énfasis mío )

Pero las funciones homotéticas perder algunas otras propiedades de funciones homogéneas.

Por ejemplo, pierden la propiedad ejemplificada en $(2)$ y perder el Teorema de Euler para funciones homogéneas:

_Sea ${\displaystyle f\colon A\rightarrow \mathbb {R^n} }$ una función diferenciable definida en un cono abierto $A\subset \mathbb{R} ^{n}$ . Entonces $f$ es homogénea de grado $k$ en $A$ si y sólo si se cumple la siguiente identidad ( Identidad de Euler ):_

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{i}}}\ x_{i}=k\ f(x),\quad \forall x\in A,}$$