Rendimientos constantes y concavidad (débil/estricta)

Question

Supongamos que tengo una función de producción de rendimientos constantes Q = f(X,Y,Z), donde X, Y y Z son los inputs. Debido a los rendimientos constantes, la matriz hessiana de derivadas parciales de segundo orden (f_ij) que puede derivarse de la función de producción tiene determinante igual a cero.

Me interesa la expresión (f_xx por f_yy) - (f_xy)^2, que puede interpretarse como el determinante de la matriz menor de dos por dos que puede derivarse de la hessiana eliminando la fila y la columna que tienen que ver con la entrada Z.

He elaborado ejemplos numéricos (por ejemplo, el Cobb-Douglas) y la expresión que me interesa es positiva. ¿Es ésta una propiedad general de las funciones de producción de rendimiento constante? En caso afirmativo, ¿hay alguna prueba sencilla de este resultado?

Answer 1

No, en general no es cierto que el rango del hessiano de una función de producción CRTS con $K$ es igual a $K-1$ .

Ejemplo 1. Sea $x$ sea un vector de $K$ insumos, y considerar la función de producción cuadrática dada por: $$ y= a+B'x + \frac{1}{2}x'Hx.$$ La función de producción tiene un hessian dado por el $K \times K$ matriz $H$ y presenta rendimientos constantes a escala si $a=0$ y $H=0$ . Por lo tanto, una función de producción CRTS puede tener un hessian de rango 0.

Ejemplo 2. Consideremos la siguiente función CRTS (cuadrática normalizada): $$ y= B'x + \frac{1}{2}\frac{x'Cx}{\theta'x}.$$ Del teorema 10 de Diewert y Wales (1987) se deduce que la función de producción es cóncava en $x$ si $C$ es semidefinida negativa. Además, para un nivel dado de $x=\bar{x}$ el rango de la hessiana viene dado por el rango de la matriz $C$ que puede ser cualquier número entre 0 y $K-1$ .

EDITAR . Una función $f,$ homogénea de grado uno y diferenciable, satisface para cualquier valor de $x$ (por uno del teorema de Euler): $$f(x)=x'\frac{\partial f}{\partial x}(x),$$ lo que a su vez implica que $$x'\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x'}(x)=0.$$ Esto significa que el rango de la matriz hessiana de $f$ no puede ser superior a $K-1$ . En $K$ los vectores columna de la matriz hessiana son linealmente dependientes.