Quiero entender las relaciones de orden utilizando su mecánica de implicación subyacente y lo que esto significa para ciertos resultados, concretamente observando las relaciones de preferencia.
Utilizando las reglas lógicas de implicación ¿Es correcto lo siguiente?
- $x \ge y \implies x > y \lor x = y$ ?
O debería ser:
- $x \ge y \iff x > y \lor x = y$
Porque seguramente nosotros también:
- $x > y \implies x \ge y$
- $x = y \implies x \ge y$
¿Es apropiado pensar en las relaciones de orden de esta manera?
Preferencias:
En el contexto de las relaciones de preferencia. ¿Se aplica exactamente a las preferencias la lógica i expuesta anteriormente para las relaciones de orden general Si cambiara lo siguiente:
- $\ge$ para $\succeq$
- $>$ para $\succ$
- $=$ para $\sim$
Por ejemplo: Una pregunta de examen señala que:
Por definición $x \succ y$ significa que $x \succeq y$
Intuitivamente esto tiene sentido, si la preferencia es estricta, entonces puedo ver que significa que también debe satisfacer la condición más débil. ¿Puedo escribir esto utilizando implicaciones como antes? es decir
$x \succ y$ es suficiente para $x \succeq y$ es decir $x \succ y \implies x \succeq y$
Preguntas específicas:
-
$x \succeq y \iff x \succ y \lor x \sim y$ ?
-
$x \sim y \implies x \succeq y$ ?
-
El mismo comentario del examen da la prueba de que no podemos tener $x \succ x$ porque:
$x \succeq y \; \forall x,y$ por lo tanto no hay ningún caso en el que $x \succ x$
- Pero seguramente si $x \succeq x \iff x \succ x \lor x \sim x$
- A continuación, utilizando su propio lenguaje $x \succ x$ significa que $x \succeq x$ .
- Es decir, como se ha mencionado anteriormente, tendríamos $x \succ x \implies x \succeq x$
- Entonces, ¿por qué es válida su prueba? La afirmación $x \succeq x$ no parece invalidar o contradecir $x \succ x$ ?
