Equilibrios múltiples

Question

Tengo dificultades para resolver equilibrios múltiples en economías de intercambio competitivas.

Considerando como tal una preferencia casi lineal:

$U_{A}(x,y)=x+100(1-e^{-y/10})$

$U_{B}(x,y)=y+110(1-e^{-x/10})$

con dotaciones iniciales: $e_{A}=(40,0), e_{B}=(0,50)$

cuando intenté resolver esto encontré:

$MRS_{A}= {\frac{1}{10e^{-y/10}}} = {\frac{p_1}{p_2}}$

$MRS_{B}= 11e^{-x/10} = {\frac{p_1}{p_2}}$

y luego introduje esto en la restricción de dotación pero estoy atascado. ¿Es erróneo mi planteamiento de este problema?

Answer 1

Como comentaste que sólo necesitabas las demandas de los agentes en función de los precios relativos, te doy mi respuesta.

Tomo como numerario $p_x = 1$ .

• Agente $A$

El programa de optimización es

$\max x + 100 (1-e^{-\frac{y}{10}})$

s.t. $x + y p_y = 40$

La condición de optimalidad es $MRS_A = \frac{p_x}{p_y}$

$\frac{1}{10 e^{-\frac{y}{10}}} = \frac{1}{p_y} \implies \frac{p_y}{10} = e^{-\frac{y}{10}} \implies -10 \ln(\frac{p_y}{10}) = y \implies {y_A}^\star = 10 \ln(\frac{10}{p_y})$

Aislar $x$ de la restricción presupuestaria obtenemos

$x = 40 - p_y y$

Agente sustituto $A$ 's $y$ -demanda obtenemos

${x_A}^\star = 40 - 10 p_y \ln(\frac{10}{p_y})$

Obsérvese nuestra expresión para ${y_A}^\star$ es negativo exactamente cuando $p_y >10$ .

Así que cuando $p_y \leq 10$ Agente $A$ son las expresiones que recibimos.

Por otra parte, cuando $p_y > 10$ las demandas reales son

${y_A}^\star = 0$

${x_A}^\star = 40$

Podemos demostrar con cálculo que la expresión para ${x_A}^\star$ alcanza su valor mínimo en $p_y = \frac{10}{e}$ .

Evaluación de ${x_A}^\star$ en este argumento, obtenemos que su valor mínimo es ${x_A}^\star = 4 - \frac{10}{e} > 4 - \frac{10}{2.5} = 0$ .

Dado que el valor mínimo de la expresión para ${x_A}^\star$ es positiva, no hay que preocuparse por la restricción de no negatividad en ésta.

• Agente $B$

El programa de optimización es

$\max y + 110 (1-e^{-\frac{x}{10}})$

s.t. $x + p_y y = 50 p_y$

La condición de optimalidad es $MRS_B = \frac{p_x}{p_y}$

$11 e^{-\frac{x}{10}} = \frac{1}{p_y} \implies x = -10 \ln(\frac{1}{11 p_y}) \implies {x_B}^\star = 10 \ln(11 p_y)$

Aislar $y$ de la restricción presupuestaria obtenemos

$y = 50 - \frac{x}{p_y}$

Agente sustituto $B$ 's $x$ -demanda obtenemos

${y_B}^\star = 50 - \frac{10}{p_y} \ln(11 p_y)$

Obsérvese nuestra expresión para ${x_B}^\star$ es negativo exactamente cuando $p_y < 1$ .

Así que cuando $p_y \leq 1$ Agente $B$ son las expresiones que recibimos.

Por otra parte, cuando $p_y <1$ las demandas reales son

${x_B}^\star = 0$

${y_B}^\star = 50$

Podemos demostrar con cálculo que la expresión para ${y_B}^\star$ alcanza su valor mínimo en $p_y = \frac{e}{11}$ .

Evaluación de ${y_B}^\star$ en este argumento, obtenemos que su valor mínimo es ${y_B}^\star = 5 - \frac{11}{e} > 5 - \frac{11}{2.2} = 0$ .

Dado que el valor mínimo de la expresión para ${y_B}^\star$ es positiva, no hay que preocuparse por la restricción de no negatividad en ésta.