¿Uso inadecuado del cálculo para estimar el coste?

Question

Tengo el siguiente modelo y resuelvo mis demandas de factores condicionales optimizadas y las funciones de costes minimizadas $C$ . ( Nota: he convertido un problema de minimización en un problema de maximización) . Supongamos que $k>0, l>0$

$Max \; L(k, l, ) = -rk - wl + \lambda [(k + 1)^\alpha l^{1 - \alpha} - y]$

• $k^c = y(\frac{w }{r (1-)})^{1-} - 1$

• $l^c = y(\frac{r(1- )}{w})^$

• $C(k^c, l^c) = rk^c + wl^c$

A continuación se formula una pregunta:

$w = 20, r = 10,   = 0.5, y = 1$ Si $r$ aumenta en 5. ¿Cómo cambia el coste?

No se dan pistas sobre el enfoque. La respuesta modelo a la pregunta asume inmediatamente el cálculo y, en concreto, el lema de Shepherds.

La respuesta que obtenemos es: $\frac{\partial C}{\partial r} r = k^c r$ = 0.41 - 5 = 2.05

Mis preguntas:

1. Si quisiera calcular exactamente ese cambio, ¿sería correcto el siguiente cálculo?

• $C_2 - C_1 = [k_2^c(15,20)15 + l_2^c(15,20)20] - [k_1^c(10,20)10 + l_2^c(10,20)20]$ = 1.365.

2. Si esto es correcto, ¿no es sorprendente que sea muy diferente de la estimación, dado que el cambio en el capital fue un aumento del 50%, y el cálculo está diseñado para aproximar pequeños cambios? Por lo tanto, ¿fue alguna vez el cálculo una solución adecuada para esta cuestión, aparte del hecho de que se trata de un examen de Economía Matemática?

3. ¿Es correcta la siguiente afirmación?

• "Dado que la función de costes es creciente en los precios de los insumos. Utilizando el cálculo siempre sobreestimar el aumento de los costes porque utiliza como "referencia" el nivel óptimo inicial de demanda de factores [ $k_1^c(10,20)$ ], y por lo tanto subestima la caída de la demanda de ese factor cuando sube de precio. Por lo tanto, sobreestima el impacto de este insumo, ahora más caro, en la función de costes".

Answer 1

2. Si esto es correcto, ¿no es de extrañar que sea muy diferente de la estimación dado que el cambio en el capital fue un aumento del 50%, y el cálculo está diseñado para aproximar pequeños cambios? Por lo tanto ¿fue alguna vez el cálculo una solución adecuada a esta cuestión?

Tiene razón cuando dice que cálculo con la derivada

$$\frac{\partial C}{\partial r} r = k^c r \qquad (1)$$

sobreestima la solución, y no es sorprendente.

La cuestión es lo que has dicho, que el uso de la derivada como en $(1)$ es un aproximación lineal de la función $C(r)$ y es local, en el punto $r=10$ . Por lo tanto, cuanto más te alejas de $r=10$ más imprecisa será la aproximación.

La aproximación con polinomios, y por tanto también las aproximaciones lineales, son locales (recuerde la fórmula de Taylor).

En nuestro caso anterior, con la fórmula $(1)$ estamos aproximando la función de coste con respecto a $r$ con la línea tangente en $r=10$ . En realidad, la derivada

$$\frac{\partial C}{\partial r}=k^c$$

es la derivada de la función $C(r)$ con respecto a $r$ teniendo en cuenta todas las demás variables.

La función $C(r)$ es creciente con respecto a $r$ (la primera derivada es positiva), pero la derivada es decreciente con respecto a $r$ .

La derivada $\frac{\partial C}{\partial r}$ por supuesto, geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a $C(r)$ .

Por lo tanto, cuando utilizamos la fórmula $(1)$ para obtener

$\frac{\partial C}{\partial r} r = k^c r$ = 0.41 - 5 = 2.05,

estamos aproximando la función $C(r)$ con su tangente, y en realidad estamos calculando el incremento de la tangente.

Puede verse fácilmente en una imagen como la siguiente:

Puedes ver que cuando usas la derivada estás calcular el aumento de la tangente, representada por el segmento $CD$ mientras que el aumento de $C(r)$ , $\Delta C$ es el segmento $BD$ .

Y, por supuesto, cuanto mayor es el aumento $\Delta r$ peor es la aproximación del aumento de $C(r)$ utilizando la derivada.

(En la imagen también puede reconocerse el diferencial de la función de una variable $C(r)$ ).

$$\;$$

Todo esto responde también pregunta $3$ :

3. ¿Es correcta la siguiente afirmación?

• "Dado que la función de costes es creciente en los precios de los insumos. Utilizando el cálculo siempre sobreestimar el aumento de los costes

Sí, porque la función del coste $C(r)$ tiene un derivada decreciente.

Por supuesto, lo contrario será cierto, es decir, teníamos una subestimación si teníamos una función con una derivada creciente.