¿Es el multiplicador de Lagrange:
Si alguien fuera tan amable, tengo otra pregunta sobre Multiplicadores de Lagrange y restricciones de no negatividad aquí. ¡Gracias!
El multiplicador de Lagrange es ambos de los anteriores, ambas declaraciones son equivalentes.
En el problema clásico del consumidor
$\max U(x,y)$
tal que $p_x x + p_y y = I$
cuyo Lagrangiano es
$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = U(x,y) + \lambda (I - p_x x - p_y y)$,
$\lambda$ es el precio sombra de la restricción de ingresos/presupuesto.
La utilidad/beneficio marginal de aumentar el ingreso es $\lambda$ utils, es decir, aumentar el ingreso en $\\\$1$ produce al individuo aproximadamente $\lambda$ utils si aún lo gasta de manera óptima.
También puede ser visto como un costo (en términos de utilidad) de no tener más ingresos.
Gracias @Nicolas. Para ser claro, si tuviera un problema de maximización es decir, Max $U$ sujeto a presupuesto $m$, ¿ambas interpretaciones serían correctas aquí para el caso de maximización? Es decir, el CM de tener la restricción = MB de relajar la restricción =
En general, los multiplicadores de Lagrange de un problema de optimización restringida toman la interpretación del valor de ajustar el "tamaño" de la restricción en cuestión.
Pueden haber muchas interpretaciones en diferentes contextos, pero usualmente la más clara (aunque no clara para principiantes) es el "precio sombra" de cambiar la restricción.
Para ilustrar con tu problema estándar de maximización de utilidad, el multiplicador toma la interpretación de la utilidad marginal del dinero pero eso en sí mismo es un precio sombra sobre el ingreso (es decir, si hubiera un mercado para el ingreso que se pudiera comprar con utilidad, sería al valor del multiplicador.)
Espero que esto aclare un poco las cosas o al menos no te confunda más.
Gracias por la respuesta @EconJohn, sí entiendo tu punto sobre "utilidad marginal del dinero," es decir, al decir que es el beneficio marginal de aumentar la restricción p. ej. tener más ingresos. ¿También estás diciendo que si tuviéramos un problema de minimización, donde nuestra restricción fuera un cierto nivel de utilidad. Entonces aquí es realmente 1/ del caso de maximización. Pero si este problema de minimización de ingresos en términos de utilidad fuera un problema de maximización, es decir, cuánto dinero utilidad gastamos para obtener un nivel deseado de ingresos. Sería lo mismo. ¿Es eso correcto?
Considera la siguiente optimización de restricciones con una restricción de igualdad: $$\begin{align} \max_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} \quad & f(x,y) \\ \textrm{s.t.} \quad & g(x,y)=c \end{align}$$
La función lagrangiana para lo anterior es: $$\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda[g(x,y)-c]$$
Supongamos que existe una solución para el problema anterior para cada $c\in\mathbb{R}$ y llamemos a la solución $(x^*(c),y^*(c),\lambda^*(c))$ y supongamos además que $x^*, y^*, \lambda^*$ son funciones diferenciables.
Dado que $(x^*,y^*,\lambda^*) es una solución, debe satisfacer las siguientes condiciones: $$\begin{eqnarray} & f_1(x^*,y^*)-\lambda^*g_1(x^*,y^*)=0 \tag{1} \\ & f_2(x^*,y^*)-\lambda^*g_2(x^*,y^*)=0 \tag{2}\\ & g(x^*,y^*)-c= 0 \tag{3} \end{eqnarray}$$
donde, $f_1=\frac{\partial f}{\partial x}$ , $f_2=\frac{\partial f}{\partial y}$ de igual manera para $g_1, g_2$
sea $h(c)=f(x^*(c),y^*(c))$ el valor óptimo de la función objetivo como función de $c$
Supongamos que estamos interesados en ver cómo cambia el valor óptimo del problema anterior en respuesta a un cambio en $c$.
diferenciando $h(c)$ con respecto a $c$: $$\begin{eqnarray} \frac{dh}{dc} & =f_{1}(x^*,y^*)\cdot[x^*(c)]'+ f_{2}(x^*,y^*) \cdot[y^*(c)]' & \quad \text{donde }[x^*(c)]'=\frac{dx^*}{dc} , [y^*(c)]'=\frac{dy^*}{dc} \\ &=\lambda^*g_1(x^*,y^*)[x^*(c)]'+ \lambda^*g_2(x^*,y^*)[y^*(c)]' & \quad \text{ de } (1) \; \& \; (2) \\ &=\lambda^*\{g_1(x^*,y^*)[x^*(c)]'+g_2(x^*,y^*)[y^*(c)]'\} \end{eqnarray}$$
de $(3): \quad g(x^*,y^*)=c$
diferenciando con respecto a $c: \quad g_1(x^*,y^*)[x^*(c)]'+g_2(x^*,y^*)[y^*(c)]'=1$
sustituyendo lo anterior en $h'(c)$, obtenemos: $$h'(c)=\lambda^*$$
Hemos demostrado que al cambiar el valor de la restricción $(c)$ lleva a un cambio en el valor óptimo de la función objetivo $(h(c))$ por el valor del multiplicador de Lagrange $(\lambda)$.
El resultado anterior tiene muchas aplicaciones útiles. Por ejemplo, para algunos problemas estándar UMP si un aumento en el precio de una sola mercancía conduce a una disminución en la utilidad del consumidor asumiendo que todo lo demás permanece constante, entonces usando el resultado anterior puedes averiguar cuánto dinero necesitamos darle al consumidor para que esté tan bien como antes del aumento de precios.
Estoy siendo un poco vago a propósito aquí; llegar a la formalidad correcta puede ser muy sutil.
Supongamos que pudieras ignorar la restricción. Entonces haces tu problema de maximización no restringido habitual, y el beneficio marginal de cambiar cualquier variable bajo control es cero. Pero a menudo, no puedes ignorar la restricción. La idea es modificar el problema para que se convierta en uno sin restricciones pero con un máximo que cumpla con la restricción. Para hacer esto, introduces un costo por violar la restricción. Para hacer esto localmente con todo bien y suave, simplemente puedes multiplicar la desviación de la restricción por un número, el multiplicador de Lagrange. ¿Qué tan grande debería ser este costo? Bueno, si la restricción debe mantenerse en un óptimo, el costo marginal debería ser exactamente igual al beneficio marginal de violar la restricción. Y es por eso que las dos interpretaciones son realmente las mismas.
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