Expresión analítica de la desviación típica de los rendimientos logarítmicos

Question

Estoy buscando una expresión para la desviación estándar de los retornos logarítmicos de un proceso de precios de acciones.

Tengo una comilla que sigue la siguiente dinámica:

• $dY(t) = Y(t)(r(t)dt + (t)dW(t))$

Aquí, W (t) es un movimiento browniano bidimensional vector-valorado con componentes independientes y (t) es un vector bidimensional (dependiente del tiempo). Con:

• $\eta(t)$ = $(t)$ $ \begin{bmatrix}_{1}\\_{2}\end{bmatrix} $
• $\eta_1^2 + \eta_2^2 = 1$

¿Cómo puedo encontrar una expresión para los retornos de registro, que se define:

$\sqrt{(Var[\log{}Y(t + t) \log{} Y (t)|F_t])}$

Creo que se puede utilizar el lema de Ito podemos obtener la solución a la SDE anterior:

• $Y(t) = Y(0)\exp(r(t) - \frac{1}{2} (t)^2)t + (t)W(t))$

¿Se ha hecho correctamente? Considerando que tanto la deriva como la volatilidad dependen de un componente temporal

En caso afirmativo, o en caso contrario, ¿cuáles son los siguientes pasos para encontrar una expresión para la desviación típica de los rendimientos logarítmicos?

Cualquier ayuda o consejo es muy apreciado

Answer 1

Tu fórmula de solución en la pregunta no es correcta, debería ser $$Y(t) = Y(0)\cdot \exp\left(\int_0^t\left(r(s)-\frac{1}{2}\eta^T(s)\cdot \mathbf{W}(s) \right)dt +\int_0^t\ \eta^T(s)d\mathbf{W}(s) \right) $$ donde $^T$ es la transposición de un vector.

Para la fórmula de retorno logarítmico, se tiene $$\begin{align} R&:=\sqrt{V(\ln Y(t + t) \ln Y (t)|\mathcal{F}_t)}\\ &=\sqrt{V\left(\underbrace{\int_t^{t+\Delta t}\left(r(s)-\frac{1}{2}\eta^T(s)\cdot \mathbf{W}(s) \right)dt}_{\text{constant term, don't affect the variance, so ignore}} +\int_t^{t+\Delta t}\ \eta^T(s)d\mathbf{W}(s)\right)}\\ &=\sqrt{V\left(\underbrace{\int_t^{t+\Delta t}\ \eta^T(s)dW(s)}_{\text{expectation is equal to }0}\right)}\\ &=\sqrt{\underbrace{\mathbb{E}\left(\left(\int_t^{t+\Delta t}\ \eta^T(s)d\mathbf{W}(s)\right)^2\right)}_{\text{Ito isometry }}}\\ R&=\color{red}{\sqrt{\int_t^{t+\Delta t}\ \left(\eta^T(s)\cdot \eta(s) \right)ds}}\\ \end{align}$$