Distribución de la media geométrica discreta y el precio de las acciones

Question

Si tenemos $$S_t = S_0 e^{(r-\frac{1}{2} \sigma ^2) +\sigma W_t}$$ y una media geométrica discreta de los precios de las acciones $$G_n = (\prod_{i=1}^{n} S_{t_i})^{\frac{1}{n}} $$ donde los puntos de control están espaciados equitativamente como $t_i=i \frac{T}{N}$ donde $0 \leq i \leq N$ es decir $0 \leq t_i \leq T$

¿Cómo puedo encontrar la distribución de $ln(\frac{G_n}{S_T})$ ¿Es decir, encontrar el valor esperado y la varianza? He intentado reescribir $G_n$ usando logaritmos naturales para que: $$ln(G_n) = \frac{1}{n} \left ( ln(S_{t_1})+ln(S_{t_2})+ln(S_{t_3})+...+ln(S_{t_N}) \right )$$ pero no estoy seguro de cómo combinarlo con $S_T$ .

Tenga en cuenta que, como soy nuevo en gran parte de esta notación, puede haber incoherencias, por lo que le ruego que las corrija.

Answer 1

Tenemos $$\begin{align} \ln \left(\frac{G_T}{S_T} \right)&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln(S_{t_i})-\ln(S_T)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\ln(S_{t_i})-\ln(S_T)\right)\\ &=-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left((r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t_i)+\sigma(W_T-W_{t_i})\right)\\ &=(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\left(-T+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n t_i\right)+\sigma \left( -W_T+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n W_{t_i}\right)\\ &=\underbrace{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\left(-T+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n t_i\right)}_{=:\color{red}{\mu}}+\sigma \underbrace{\left( -W_T+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n W_{t_i}\right)}_{=:\mathcal{L}}\\ \end{align}$$

El término $\mathcal{L}$ sigue la distribución normal $\mathcal{N}(0,\color{red}{\Sigma})$ ya que es la suma de los $(W_{t_i})_{i=1,...,n}$ . Para determinar $\Sigma$ basta con calcular $$\begin{align} \Sigma &=\mathbb{E}\left(\left( -W_T+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n W_{t_i}\right)^2\right)\\ &=\mathbb{E}\left(W_T^2\right) -2\frac{1}{n}\mathbb{E}\left(W_T \sum_{i=1}^n W_{t_i}\right)+\frac{1}{n^2}\mathbb{E}\left(\left(\sum_{i=1}^n W_{t_i}\right)^2\right) \tag{1} \end{align}$$ Te dejo calcular $\Sigma$ utilizando la propiedad $\mathbb{E}(W_xW_y) = \min\{x,y \}$ (no es difícil)

Por fin, $$\ln \left(\frac{G_T}{S_T} \right) \sim \mathcal{N}(\color{red}{\mu}, \color{red}{\Sigma})$$