Existencia y unicidad de la demanda, y la simetría implica demandas iguales dados precios iguales

Question

Se ha encontrado con el siguiente problema durante el autoestudio:

Mi opinión sobre el problema es que si podemos demostrar que la ecuación de la senda de expansión de la renta es $x_1=x_2$ para todos los $U(x_1,x_2)$ entonces hemos probado la afirmación. Puedo ver que el resultado se mantiene en ejemplos para diferentes funciones de utilidad, por ejemplo, $U=x_1x_2$ pero no sé cómo demostrarlo de forma más general. Cualquier ayuda es apreciada

Answer 1

Prueba por contradicción . Supongamos que $(x_1^*, x_2^*)$ resuelve el problema y $x_1^* \neq x_2^*$ es cierto. Por simetría de la utilidad y precios iguales, $(x_2^*, x_1^*)$ que no es el mismo fardo que $(x_1^*, x_2^*)$ también resuelve el problema dado contradiciendo que la solución sea única.

Prueba directa . También se puede escribir directamente el mismo argumento. Dado que $(x_1^*, x_2^*)$ resuelve el problema, por simetría de la utilidad e igualdad de precios, $(x_2^*, x_1^*)$ también resuelve el problema dado. Puesto que la solución es única, $(x_1^*, x_2^*)=(x_2^*, x_1^*)$ debe ser cierto. Por lo tanto, $x_1^*=x_2^*$ .