Robinson Crusoe Cuestión de economía

Question

Pregunta:

Hipotéticamente, Robinson Crusoe está atrapado en una isla y puede elegir entre trabajar recogiendo cocos o el ocio. La función de utilidad es:

$U(C,L)=C^{2/5}L^{3/5}$

donde C es el número de cocos encontrados, L es la fracción del día dedicada al ocio, H es la fracción del día dedicada a buscar cocos

y la función de producción es $f(H) = 8H^{1/2}$

Para resolverlo manipulé la función de producción y establecí el Lagrangiano para resolverlo como un problema de maximización de la utilidad

$\mathcal{L}$ = $C^{2/5}L^{3/5}+(1-\frac{C^{2}}{64}-L)$

...

$L=c\frac{\sqrt{3}}{8}$

...

$L = \frac{-9 + 3\sqrt{13}}{2}$

(no estoy totalmente seguro de que sea correcto)

Robinson Crusoe también crea una empresa que pone precios fijos por la mano de obra y los cocos a la que él, como agente, también compra. Y la empresa experimenta la compensación del mercado. El agente Crusoe vende mano de obra y compra cocos con sus ingresos salariales y los dividendos de sus acciones. Crusoe, Inc. compra mano de obra y produce cocos utilizando la tecnología de producción de Crusoe. No tengo muy claro qué debo hacer para hallar el precio o la cantidad de cocos producidos.

PD es la primera vez que uso látex, espero haberlo hecho bien :)

Answer 1

Si se quiere encontrar la asignación eficiente de Pareto en esta economía, entonces se puede determinar resolviendo el siguiente sistema para $(C, L, H)$ :

• $L+H=1$
• $C = 8\sqrt{H}$
• $\text{MRS} = \dfrac{3C}{2L} = \dfrac{4}{\sqrt{H}} = \text{MRT}$

y obtenemos $(C, L, H) = \left(4,\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$

Aquí está la foto:

Para determinar el equilibrio competitivo, necesitamos encontrar el precio de la mano de obra $w^*$ y una asignación $(C^*, L^*, H^*)$ tal que se cumpla lo siguiente:

1. Dado $w^*$ , $(C^*,H^*)$ resuelve el problema de maximización de beneficios de la empresa: \begin{eqnarray*} \max_{C\geq 0, H\geq 0} & C - w^*H \\ \text{s.t. } & C \leq 8\sqrt{H} \end{eqnarray*} Sea $\pi^*$ denota los beneficios óptimos, es decir $\pi^* = C^* - w^*H^*$ .
2. Dado $w^*$ y $\pi^*$ , $(C^*,L^*)$ resuelve el problema de maximización de la utilidad de Robinson Crusoe: \begin{eqnarray*} \max_{C\geq 0, 0\leq L \leq 1} & C^{\frac{2}{5}}L^{\frac{3}{5}}\\ \text{s.t. } & C \leq w^*(1-L) + \pi^* \end{eqnarray*}
3. $L^*+H^* = 1$

Resolviendo el sistema, obtenemos $w^*=8$ y $(C^*, L^*, H^*) = \left(4,\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$ como el equilibrio competitivo. Aquí está la imagen: