Significado de $\frac{A}{r}$ en el modelo de deuda estándar:

Question

Dado el modelo de deuda y reembolsos dado por la ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal de primer orden:

$\frac{dD}{dt} - rD = -A$

En este modelo, $D(t)$ representa la deuda del consumidor en el momento $t$ , $r$ es el tipo de interés constante pagado por la deuda, y $A$ es el tasa continua de amortización de la deuda . La ecuación describe cómo evoluciona la deuda a lo largo del tiempo, teniendo en cuenta el tipo de interés y la tasa de amortización.

La solución a esta EDO es:

$D(t) = D(0)e^{rt} + \frac{A}{r}(1 - e^{rt})$

1. Soy consciente de que A es una constante que es la cantidad reembolsada en cada periodo de tiempo $t$ es decir, es independiente de t. Pero, ¿qué quiere decir "continua"
2. Para qué sirve la intuición $\frac{A}{r}$ ¿qué nos dice esto en realidad? ¿Cómo sería diferente el modelo si mágicamente tuviéramos sólo A en lugar de $\frac{A}{r}$ en el lado derecho.

Answer 1

1. Soy consciente de que A es una constante que es la cantidad reembolsada en cada periodo de tiempo t es decir, que es independiente de t. Pero ¿qué quiere decir "continua"

Continuo significa que se produce en cada "instante" a lo largo de un intervalo, a diferencia de los reembolsos discretos, en los que el reembolso se produciría sólo en algunos momentos discretos específicos (por ejemplo, cada mes, cada año, etc.). El tiempo continuo suele deberse a que es más cómodo trabajar con él y, por lo general, las predicciones del modelo no cambian cualitativamente como resultado.

2. ¿Qué se intuye para A/r ¿qué nos dice realmente? ¿Cómo sería diferente el modelo si mágicamente de alguna manera tuviéramos sólo A en lugar de A/r en el lado derecho.

En $A/r$ sería el valor si la deuda fuera perpetua. Recordemos que en tiempo discreto la perpetuidad es un caso especial de anualidad donde la fórmula para el valor de la anualidad es $$P=\frac{A}{r}\left(1-\frac{1}{(1-r)^t}\right) \tag{*}$$ . En $t \to \infty$ acabas con la perpetuidad $A/r$ .

Todo el plazo:

$$\frac{A}{r}(1e^{rt})$$

es el equivalente en tiempo discreto de $*$ . Sin embargo, dicho esto, no debe interpretarse simplemente por separado, ya que no se trata de perpetuidad.

Si $r$ desapareciera "mágicamente", la ecuación dejaría de tener sentido. Para ser claros $r$ se podría poner a 1, lo que lo haría "desaparecer", pero entonces habría que ponerlo a 1 en todas partes. Si quieres tratar con una deuda que literalmente no tiene intereses, necesitas derivar y resolver una nueva EDO.