Ecuaciones 12 y 13 de Scharfstein y Stein (AER, 1990)

Question

Estoy estudiando el artículo fundamental de Scharfstein y Stein sobre el pastoreo.

Comportamiento de los rebaños e inversión Autor(es): David S. Scharfstein y Jeremy C. Stein Fuente: The American Economic Review , Jun., 1990, Vol. 80, No. 3 (Jun., 1990), pp. 465- 479 Publicado por: American Economic Association URL estable: https://www.jstor.org/stable/2006678

No puedo deducir las ecuaciones 12 y 13. Debería ser casi trivialmente sencillo, pero creo que estoy malinterpretando algo. ¿Alguien tendría apuntes o diapositivas de este trabajo? ¿Alguna sugerencia? Escribiría las ecuaciones pero no tienen sentido sin el modelo y entonces este post se haría demasiado largo.

Answer 1

No sé si esto le servirá a alguien más pero ya lo solucioné.

Para obtener la ecuación 12, se toma el cociente entre el denominador de la ecuación 8 y (denominador de la ecuación 8 + denominador de la ecuación 9). Estos dos denominadores son iguales, lo que nos da ½.

Para obtener la ecuación 13, se toma el cociente entre el denominador de la ecuación 10 y (denominador de la ecuación 10 + denominador de la ecuación 11).

La notación es un poco extraña, ya que $\hat{\theta}$ es una probabilidad posterior. Los denominadores en las ecuaciones 8-11 son todos los casos posibles en los que podemos ver esa permutación de señales por lo que es la probabilidad de ver la señal y el estado del mundo.

En las ecuaciones 12 y 13, necesitamos la misma probabilidad conjunta que se calcula en los denominadores de las ecuaciones anteriores, pero ahora utilizamos la relación de las probabilidades conjuntas para calcular la probabilidad condicional de un estado dadas las señales. Por ejemplo

$Prob (x_H|s_B, s_G) = \frac{Prob (s_B, s_G, x_H)}{Prob (s_B, s_G, x_H) + Prob (s_B, s_G, x_L)}$ .

Lo anterior es un atajo para los cálculos.