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¿Cómo calcular el número máximo de empresas en una competencia de Cournot?

Intento averiguar la respuesta a las dos preguntas siguientes con el contexto dado: En un escenario en el que existen múltiples empresas idénticas con una gran oferta de productos disponibles, cada empresa debe decidir cuánto ofrecer al mercado. Cada empresa tiene la misma función de costes, dada por C(q) = 10q y la demanda del mercado viene dada por Q = 150 - P.

La entrada en el mercado conlleva un coste fijo F en el que debe incurrir cada empresa en la fase de entrada. Supongamos que tras la entrada en el mercado se produce un periodo de competencia Cournot.'

¿Qué número de empresas maximiza el excedente total si se puede restringir o promover la entrada mediante la manipulación de F? Obsérvese que los precios o las cantidades no pueden regularse; sólo F puede alterarse en aras de maximizar el bienestar (definido como la suma de los beneficios totales y el excedente del consumidor).

Y

Si tanto el precio como el número de empresas pudieran regularse para maximizar el bienestar total, ¿a qué precio y a cuántas empresas se permitirá entrar?".

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Sea $n$ el número de empresas

En mi respuesta a tu otra pregunta tengo:

  • $n$ en función de $F$ .

$n = \frac{140(5 + \sqrt{F + 375})}{F+350} - 1$

  • La cantidad óptima de cada empresa en función de $n$ .

$q_i = \frac{140}{n+1}$

  • La cantidad total producida por todas las empresas en conjunto:

$Q = \frac{140 n}{n+1}$

  • El precio de mercado en función de $n$ .

$P = \frac{10 (n+15)}{n+1}$

La función de beneficios de cada empresa en función de $n$ .

$\Pi_i = 10 \cdot \frac{n+15}{n+1} \cdot \frac{140}{n+1} - 10 \cdot 35 - F$

$\Pi_i = 10 (\frac{140 (n+15)}{(n+1)^2} - 35) - F $

Dado que, a largo plazo, las empresas entran en el mercado hasta el punto en que $\Pi_i = 0$ el beneficio agregado de las empresas es

$\Pi = 0$

Por otra parte, el excedente del consumidor viene dado por el área bajo la curva de demanda y por encima del precio de mercado.

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Como se trata del área de un triángulo, obtenemos

$CS = \frac{1}{2} Q (150-P)$

$CS = \frac{1}{2} Q^2$

$CS = \frac{19600 n^2}{2 (n+1)^2}$

$CS = \frac{9800 n^2}{(n+1)^2}$

Con esto, el bienestar viene dado por:

$W = \Pi + CS$

$W = \frac{9800 n^2}{(n+1)^2}$

Se puede comprobar fácilmente que

$\frac{dW}{dn} = \frac{19600 n}{(n+1)^3} > 0$ para todos $n$ .

Dado que la derivada del bienestar es siempre positiva, $W$ está aumentando en $n$ .

Por lo tanto, no existe un número óptimo de empresas. Como $n \to \infty$ el bienestar $W$ sigue aumentando.

Esto implica que queremos elegir el nivel de $F$ que da el valor más alto posible de $n$ .

Desde $F$ disminuye los beneficios de las empresas, mayor será la $F$ cuanto menor sea el número de empresas.

Por lo tanto, la política óptima es fijar $F = 0$ .

Recordemos que para un nivel determinado de $F$ el número de empresas $n$ viene dado por:

$n = \frac{140(5 + \sqrt{F + 375})}{F+350} - 1$

Desde $F = 0$ el número de empresas que entrarían en el mercado es

$n = \frac{140(5+\sqrt{375})}{350} - 1 \approx 8.75$

Como no puede haber empresas fraccionarias, el número real de empresas sería $n = 8$ .

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