En una economía de 3 sectores, calcule la cuota máxima posible de uno de los sectores a lo largo del tiempo si la composición sectorial inicial y la tasa de crecimiento anual están dadas

Question

En una economía, los sectores agrícola, industrial y de servicios tienen unas cuotas iniciales del 50%, 20% y 30%, respectivamente, en el PIB total. Posteriormente, también crecen a las siguientes tasas anuales constantes durante los siguientes 60 años: Agricultura-2 por ciento; Industria-5 por ciento, y Servicios-6 por ciento anual respectivamente. Quiero demostrar que la participación del sector industrial en el PIB aumentará durante los primeros 40 años y luego disminuirá. Pero soy incapaz de resolverlo a mano.

Según tengo entendido, el crecimiento del sector industrial a lo largo del tiempo puede representarse como (20/100)*(1+0,05)^t = 0,2(1+0,05)^t

Mientras que la cuota del sector industrial será, crecimiento del sector industrial a lo largo del tiempo/crecimiento total que puede escribirse como f(t) = 0,2(1+0,05)^t/ [(0,2(1+0,05)^t + 0,5(1+0,02)^t + 0,3(1+0,06)^t)].

La maximización de la ecuación anterior debería permitirme encontrar el valor de "t" que maximiza f(t). Sin embargo, no sé cómo transformar la ecuación para encontrar la solución. Por favor, indíqueme cómo resolverla. Además, ¿hay alguna forma más rápida y eficaz de abordar esta cuestión?

Answer 1

El problema se resuelve tomando su fórmula para la cuota del sector industrial $f(t)$ a la vez $t$ y diferenciando con respecto a $t$ para determinar su gradiente en $t$ con el máximo donde el gradiente es cero. Usando la regla del cociente y la regla exponencial:

$$\frac{d}{dt}ac^t=ac^t\ln c$$

que tenemos:

$$\frac{df(t)}{dt}=\dfrac{[0.2(1.05^t)\ln1.05(0.2(1.05^t)+0.5(1.02^t)+0.3(1.06^t))]-[0.2(1.05^t)(0.2(1.05^t)\ln1.05+0.5(1.02^t)\ln1.02+0.3(1.06^t)\ln1.06)]}{[0.2(1.05^t)+0.5(1.02^t)+0.3(1.06^t)]^2}$$

Esto puede parecer desalentador, pero una simplificación inmediata es observar que el denominador es positivo para todo $t$ por lo que si sólo nos preocupa si la derivada es positiva, negativa o cero (y no su valor exacto), podemos ignorar el denominador y centrarnos en el numerador. También podemos observar que, en el numerador, los productos iguales a $0.2^2(1.05^{2t})\ln1.05$ se encuentran tanto en el primer corchete como en el segundo, por lo que se anulan. Por lo tanto, el numerador se reduce a:

$$[0.2(1.05^t)\ln1.05(0.5(1.02^t)+0.3(1.06^t)]-[0.2(1.05^t)(0.5(1.02^t)\ln1.02+0.3(1.06^t\ln1.06)]$$

$$=[0.2(0.5)(1.05*1.02)^t(\ln1.05-\ln1.02)]+[0.2(0.3)(1.05*1.06)^t(\ln1.05-\ln1.06)]$$

$$\approx[0.1*1.071^t(0.02899)]-[0.06*1.113^t(0.00948)$$

$$=[0.002899*1.071^t]-[0.000569*1.113^t]$$

Si se iguala a cero y se divide por $1.071^t$ :

$$0.002899-(0.000569*(1.0392^t))\approx 0$$

$$1.0392^t\approx5.0949$$

que da como resultado $t\approx 42$ .

Alternativamente, el problema puede resolverse mediante una hoja de cálculo (por ejemplo, Excel) con una fila por año y columnas para los tres sectores, para el PIB total y para la parte de la industria en el total. Utilizando este método y tomando como punto de partida el año 0, he llegado a la conclusión de que la cuota de la industria alcanzó su máximo en el año 42, con un 25,167%.