Modelo de Solow con múltiples equilibrios estacionarios

Question

Consideremos el modelo de Solow en tiempo continuo sin progreso tecnológico y con una tasa de crecimiento de la población constante igual a $n$ . Si los capitalistas no ahorran y los trabajadores ahorran una fracción $s \in (0,1)$ de sus ingresos, muestran que puede haber múltiples equilibrios de estado estacionario posibles. Suponga que la función de producción satisface todos los supuestos neoclásicos.

El comienzo de siempre:

\begin{align} \dot k = \frac{\dot{K}}{K} - n = \frac{swL - \delta K}{K} - n = \frac{s(f(k) - kf'(k))}{k} - (n + \delta) = 0 \\ \implies g(k) \stackrel{def}{:=} f(k) - kf'(k) - \left(\frac{n + \delta}{s}\right)k = 0 \end{align}

Tengo que demostrar que hay más de una $k$ que satisfacen $g(k) = 0$ .

¿Cómo debo proceder?

He construido un ejemplo con $f(k) = k^{0.6}$ y obtengo tres estados estacionarios. Pero uno es negativo, el otro es $0$ y el tercero es positivo, así que efectivamente, sólo tengo dos estados estacionarios, de los cuales $k=0$ es un ejemplo que intento evitar.

Este es un gráfico de $g(k)$ de la construcción anterior:

Answer 1

Creo que es muy difícil encontrar un ejemplo de función de producción que en este caso viole la unicidad del equilibrio.

En su lugar, se me ocurrió un enfoque diferente, que esbozo a continuación, y que espero que pueda ayudar.

Tomo, para empezar, la última ecuación que escribiste:

$$\dot k= s[f(k) - kf'(k) ]- \left({n + \delta}\right)k = 0 \quad (1)$$

En nuestro problema el supuestos neoclásicos habituales sobre la producción función en particular

$$f'(k)>0\qquad (2)$$ y $$f''(k)<0\quad (3).$$

En el modelo estándar de Solow la ecuación de movimiento es:

$$\dot k= sf(k) - \left({n + \delta}\right)k = 0 \quad (4)$$

Los supuestos $(2)$ y $(3)$ junto con los demás supuestos neoclásicos, garantizan que el estado estacionario en el modelo estándar de Solow existe y es único $^1$ .

Y podemos dibujar el bonito gráfico habitual del modelo de Solow habitual, con nuestras bonitas funciones:

$$Fig. 1$$

En nuestro problema no estándar, en su lugar, según $(1)$ la ecuación que describe el estado estacionario es

$$s[f(k) - kf'(k) ]= \left({n + \delta}\right)k \quad (5)$$

de modo que, aunque la función de producción sea siempre la misma, ahora estamos igualando a $\left({n + \delta}\right)k$ no $sf(k)$ pero el lado izquierdo de $(5)$ .

Nada asegura que esta última función dé lugar a un estado estacionario único, porque es posible que no mantenga las bonitas propiedades de $f(k)$ .

Considere la primera derivada de la función entre paréntesis del lado izquierdo de $(5)$ que yo llamo $g(t)$ :

$$g'(t)= (f(k) - kf'(k))'= f'(k)- [f'(k)+f''(k) k]=-f''(k)k>0\qquad (6) $$

que es positivo, según $(3)$ .

Consideremos ahora la segunda derivada de $g(t)$ :

$$g''(t)= [-f''(k)k]'= -f''' (k)k-f''(k)\qquad (7) $$

¿Cuál es el signo de esta segunda derivada de $(g(t)$ ? No lo sabemos, no sabemos nada sobre la tercera derivada. $f'''(k)$ .

Por lo tanto, podemos tener una función no tan bonita como en el modelo estándar, cuya segunda derivada cambia de signo.

Y podemos tener una situación como la representada en la imagen siguiente, en la que una función "mala" da lugar a múltiples equilibrios:

$$Fig.2$$

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$^1$ Aparte de la solución trivial $k(t) \equiv 0$ .